Eigenschaften kubischer Splines

10.05.2016, 20:19	Leisesprecher	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenschaften kubischer Splines Meine Frage: Ich soll überprüfen welche Eigenschaften eines natürlichen kubischen Splines auf die Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ zutreffen und welche nicht. $\begin{eqnarray} f(x)=\left\{\begin{array}{cl} f_{1}(x) =(x+1)+(x+1)^{3}, & x\in [-1,0]\\ f_{2}(x) =4+(x-1)+(x-1)^{3}, & x\in (0,1] \end{array}\right. \end{eqnarray}$ Meines Erachtens sind alle Eigenschaften erfüllt, aber die Frage nach den nicht erfüllten Eigenschaften verunsichert mich sehr. Was habe ich hier übersehen? Meine Ideen: Zunächst überprüfe ich ob die Funktion überhaupt stetig ist: (erfüllt) $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0-} f_{1}(x) = 2 = \lim_{x \to 0+} f_{2}(x) \end{eqnarray}$ Dann überprüfe ich ob die beiden 1. Ableitungen im inneren Knotenpunkt gleich sind: (erfüllt) $\begin{eqnarray} \frac{d}{dx} f_{1}(x)\|_{x=0} = 1+3(x+1)^{2}\|_{x=0}=4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{d}{dx} f_{2}(x)\|_{x=0} = 1+3(x-1)^{2}\|_{x=0}=4 \end{eqnarray}$ Die zweiten Ableitungen müssen nicht übereinstimmen aber trotzdem stetig sein: (erfüllt) $\begin{eqnarray} \frac{d^{2}}{dx^{2}} f_{1}(x) =\|_{x=0} = 6(x+1)\|_{x=0}=6 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{d^{2}}{dx^{2}} f_{2}(x) =\|_{x=0} = 6(x-1)\|_{x=0}=-6 \end{eqnarray}$ Um zu den natürlichen Splines zu zählen müssen zusätzlich noch die 2. Ableitungen an den beiden äußeren Knoten (Rändern) gleich Null sein: (erfüllt) $\begin{eqnarray} \frac{d^{2}}{dx^{2}} f_{1}(x) =\|_{x=-1} = 6(x+1)\|_{x=-1}=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{d^{2}}{dx^{2}} f_{2}(x) =\|_{x=1} = 6(x-1)\|_{x=1}=0 \end{eqnarray}$

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