Homotopie finden

11.05.2016, 02:23	Inspector Columbo	Auf diesen Beitrag antworten »
Homotopie finden Hallo an alle , die folgende Aufgabe bereitet mir ziemlich Kopfzerbrechen: Finden Sie eine Homotopie relativ zu $\begin{eqnarray} S^1 \subset \mathbb C^ \end{eqnarray}$ zwischen der Identitätsabbildung $\begin{eqnarray} \mbox{id}: \mathbb C^* \to \mathbb C^* \end{eqnarray}$ und der Abbildung $\begin{eqnarray} g : \mathbb C^* \to \mathbb C^, z \mapsto \frac{z}{\|z\|} \end{eqnarray}$ . Leider scheitert es bei mir schon daran, überhaupt (also egal ob "relativ zu $\begin{eqnarray} S^1 \end{eqnarray}$ " oder nicht) eine Homotopie zwischen $\begin{eqnarray} \mbox{id} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ anzugeben. Ich hatte mir überlegt, dass wenn ich es schaffe eine stetige Abbildung $\begin{eqnarray} \alpha_z : [0,1] \to \mathbb C^ \end{eqnarray}$ zu finden, so dass $\begin{eqnarray} \alpha_z(0) = 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \alpha_z(1) = 1/\|z\| \end{eqnarray}$ , eine gute Chance habe, damit eine Homotopie zwischen $\begin{eqnarray} \mbox{id} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray*}$ zu basteln. Obwohl das auf den ersten Blick gar nicht so schwer zu sein scheint, habe ich das bis jetzt noch nicht hinbekommen ... ich wäre also für jeden Hinweis äußerst dankbar
11.05.2016, 08:07	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, was oft funktioniert, ist, die Konvexkombinationen der beiden Abbildungen zu durchlaufen. Das ist so das, was man eigentlich immer als erstes versucht. Probiers mal aus.

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