Frage zum Majoranten-/Minorantenkriterium

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Krudus Auf diesen Beitrag antworten »
Frage zum Majoranten-/Minorantenkriterium
Also es geht um folgenden Satz:

Es seien und Reihen, und es gebe mit für alle .

Dann gelten:

(i) Konvergiert , so konvergiert auch und es gilt:



(ii) Divergiert



so divergiert auch

.


Nun zu der eigentlichen Frage. Das die Aussage in (ii) stimmt leuchtet ein. Denn ist divergent, so ist die Reihe unbeschränkt. Da ab einen bestimmten index muss also auch divergieren.

Dies stellt aber doch nicht das Minorantenkriterium da oder?
Denn (ii) sagt nur aus, dass die Reihe nicht absolut konvergiert.
Mich verwundert nur, dass wir offensichtlich kein Minorantenkriterium formuliert haben.

Vertue ich mich hier und es handelt sich doch um das Minorantenkritierum? verwirrt
Falls ja, wieso stellen die Beträge dann kein Problem da?

Eine Reihe die nicht absolut konvergiert kann ja bedingt konvergent sein (bsp. Alternierende Harmonische Reihe).

Mfg. Krudus
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Krudus,

was wäre denn deiner Meinung nach das richtige Minorantenkriterium?
Man könnte bei (ii) höchstens statt der Divergenz von jene von fordern, was eine schwächere Voraussetzung wäre (genauso bekommt man bei (i) sogar absolute Konvergenz).

Würdest du sonst gerne noch etwas ändern?
Krudus Auf diesen Beitrag antworten »

Meiner Meinung nach wäre das richtige Minorantenkriterium, wenn gelten würde

.

Denn somit schließe ich doch von meiner Minorante .

Das ist auch kein falscher Schluss aber wie bereits gesagt:

Sei , dann gilt doch

also konvergent

und

da dies die harmonische reihe ist.

Dann sagt mir das Minorantenkriterium doch nur etwas über die Absolute divergenz einer Reihe aus oder was verstehe ich hier falsch?
verwirrt

Latex korrigiert. (Guppi12)
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du nur forderst, folgt aus der Divergenz von nicht jene von oder von . Betrachte zum Beispiel und für alle .

Deine Version des Minorantenkriterium ist also einfach falsch. Wenn man nur reelle Folgen zulässt (was Sinn macht, da man sonst sowieso nur Aussagen über den Betrag machen kann), kann man bei noch den Betrag weglassen, weil aus dann sowieso die Positivität von folgt.
Krudus Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt natürlich. Ich sehe nun ein das diese Bedingung unabdingbar ist
Vielen dank Gruppi.


Wenn ich das jetzt auch richtig verstehe führt die Bedingung dazu, dass ich das Minorantenkriterium nur für solche Reichen

anwenden kann, bei denen eben alle Summanden positiv sind.
Das Minurantenkriterium ist also für alternierende Reihen, sowie negativen Reihen nicht zu gebrauchen.



Das Majorantenkriterium jedoch kann ich auch für negative und Alternierende Reihen anwenden (da nicht automatisch als positiv gefordert wird.
Wobei eine abschätzung für alternierende reihen eh schwierig sein dürfte. Dafür gibts ja auch das Leibnitzkritierum

Also könnte ich durchaus sagen, dass



nach dem Majorantenkriterium konvergiert, da oder?

Wobei das eigentlich garnicht notwendig ist da man das minus auch einfach vor die Summe ziehen kann nach den Rechenregeln für Folgen (Reihen sind ja im prinzip nix anders weswegen sich das darauf überträgt).
Aber es geht mir hier nur um das rein theortische.
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