Äquivalenz beweisen

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JohnnyD Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenz beweisen
Meine Frage:
K ist ein Körper mit char ungleich 2 . V und W sind K-Vektorräume und
beta : V x V --> W eine bilineare Abbildung

Wie zeige ich die Äquivalent ?

beta(x,y) = - beta(y,x) für alle x,y aus V <=> beta(x,x)= 0 für alle x aus V



Meine Ideen:
Ich weiß dass ich für den Beweis zeigen muss dass aus
a)--> b) und aus b) --> a) gilt
Jedoch hab ich hierfür überhauptkeine Idee
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RE: Äquivalenz beweisen
=> Vertausche in beta(x,x) die beiden Variablen.
<= Betrachte beta(x+y,x+y)
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn die linke Seite gilt, was gilt dann für beta (x,x)?
Für die Rückrichtung betrachte beta (x-y,x-y)

Edit: Bin raus.
JohnnyD Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenz beweisen
Mit was soll ich die Variablen vertauschen und
was bringt es mir beta(x+y,x+y) zu betrachten?
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RE: Äquivalenz beweisen
beta(x,x) hat zwei Variablen und die kannst du miteinander vertauschen.
Vielleicht solltest du das Betrachten nicht wörtlich nehmen, sondern den Ausdruck unter Verwendung der Eigenschaften von beta umformen.
JohnnyD Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenz beweisen
Wenn ich x mit x vertausche steht immernoch beta(x,x) da was ja immernoch dasselse ist deswegen habe ich angenommen dass die Variablen aus und nicht umgetauscht werden
 
 
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RE: Äquivalenz beweisen
Das ist schon richtig. Aber hier gilt nach Voraussetzung, dass das Vertauschen der Variablen auch ein Minuszeichen erzeugt.
JohnnyD Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenz beweisen
OK.
Verstehe ich es dann jetzt richtig dass:

beta(x,x) =0 , beta(y,y)=0

d.h beta(x,x)+beta(y,y) = 0

-> beta(x+y,x+y) =0

-> beta(x+y,x+y) + beta(x+y,x+y) =0

<=> beta(x+y,x+y) = - beta(x+y,x+y)
<=> beta (x,y)= -beta(y,x)
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RE: Äquivalenz beweisen
Willst du jetzt die Richtung <= oder => zeigen? verwirrt
Wie auch immer, mir ist nicht klar, wie du von der vorletzten Zeile zur letzten kommst.
JohnnyD Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenz beweisen
eigentlich wollte ich <-- zeigen
Aber wie komme ich auf die letzte zeile wenn nicht direkt?
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RE: Äquivalenz beweisen
Benutze die Bilinearität von beta
JohnnyD Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenz beweisen
Ich sehe nicht ganz wie mir die bilinearität hierbei hilft :/
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RE: Äquivalenz beweisen
Betrachte beta(x+y,x+y) und benutze die Bilinearität von beta.
JohnnyD Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenz beweisen
kann ich aus der bilinearität folgern , dass

beta(x+y,x+y) = beta(x,y) + beta(y+x) ?
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RE: Äquivalenz beweisen
unter den hier geltenden Voraussetzungen ja. Im allgemeinen ist das allerdings falsch.
Shalec Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenz beweisen
Zitat:
Original von URL
unter den hier geltenden Voraussetzungen ja. Im allgemeinen ist das allerdings falsch.

Vielleicht muss dem TE elementarer geholfen werden. Mir scheint es so, als wäre die Bilinearität nicht ganz klar, welche Eigenschaft hier gelten.

Er könnte ja mal mithilfe der Bilinearität Stück für Stück umformen. War mir nur aufgefallen, dass es insgesamt so scheint, als wäre die Bilinearität unklar.

Viele Grüße ich bin raus smile
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