Transformationsformel & Kontravarianter Vektor

12.05.2016, 17:35

yellowman

Transformationsformel & Kontravarianter Vektor

Hallo zusammen, ich befasse mich momentan mit krummlinien Koordinatensystemen und möchte dazu etwas mehr lernen.

Die Transformation zwischen zwei Koordinatensystemen K nach K' bzw K' nach K lassen sich im allgemeinen nur die Differentiale zwischen den beiden Koordinatensystemen transformieren sehe ich das korrekt?

Hier gilt dann: $\begin{eqnarray*} dx^{'i}=\frac{\partial x_i'}{\partial x_j} dx^{j} \end{eqnarray*}$

Diese Transformation besitzt die gleiche Form wie ein Kontravarianter Vektor. Hier heißt V ist ein Kontravarianter Vektor, wenn er folgendermaßen transformiert wird.

$\begin{eqnarray*} V^{'i}=\frac{\partial x'_{i}}{\partial x'_{j}}V^j \end{eqnarray*}$

Das heißt also, dass die Transformation der Differentiale ebenfalls ein kontravarianter Vektor sein muss, sehe ich das richtig und wie würde man das in einen anständigen Satz bringen?

Betrachtet man das ganze zwischen den
kartesischen Koordinaten $\begin{eqnarray*} (x,y,z) \end{eqnarray*}$ und den krumlinigen Zylinderkoordinaten $\begin{eqnarray*} (r,\varphi,z) \end{eqnarray*}$ , so ergibt sich folgende Transformation der Differentiale:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\mathrm dx\\\mathrm dy\\\mathrm dz\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\varphi&-r\sin\varphi&0\\\sin\varphi&r\cos\varphi&0\\0&0&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\mathrm d r\\\mathrm d\varphi\\\mathrm dz\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Will man nun das Volumenelement $\begin{eqnarray*} dV=dxdydz \end{eqnarray*}$ betrachten, so dachte ich, ich multipliziere erstmal die rechte Seite mittels Matrixmultiplikation aus. Ich erhalte:

$\begin{eqnarray*} dx=\cos\phi dr-r\sin\phi d\phi \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} dy=\sin\phi dr+r\cos\phi d\phi \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} dz=dz \end{eqnarray*}$

Da ich nun die einzelnen Transformationen habe, dachte ich, ich multipliziere die jeweiligen Ausdrücke einfach und müsste damit das bekannte Volumenelement in Zylinderkoordinaten erhalten.

$\begin{eqnarray*} dxdydz=(\cos\phi dr-r\sin\phi d\phi)(\sin\phi dr+r\cos\phi d\phi)dz \end{eqnarray*}$

Wenn ich dies ausmultiplizere erhalte ich allerdings Ausdrücke, die sich mMn nicht weiter vereinfachen lassen. Geht das eventuell doch oder ist das der falsche Ansatz?

Vielen Dank!!!

13.05.2016, 09:45

Ehos

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Bei kartesischen Koordinaten x,y,z stehen die Koordinatenachsen senkrecht aufeinander. Das Volumenelement ist also ein Quader, dessen Volumen einfach das folgende Produkt ist

$\begin{eqnarray*} dV=\text {Länge }\cdot \text{ Breite }\cdot \text{ Höhe}=dx\cdot dy \cdot dz \end{eqnarray*}$

Bei krummliniegen Koordinanten stehen die Koordinantenachsen oft schräg aufeinander, so dass das Volumenelement kein Quader ist, sondern ein 3-dimensionales Parallelogramm. Bekanntlich ist das Volumen eines 3-dimensionalen Parallelogrammes, welches von den Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec a, \vec b, \vec c \end{eqnarray*}$ aufgespannt wird, die Determinente dieser Vektoren, also

$\begin{eqnarray*} V=\det(\vec a, \vec b, \vec c) \end{eqnarray*}$

Wie du richtig berechnet hast, wird bei Zylinderkoordinaten das (differenziell kleine) 3-dimensionale Paraleleogramm gerade durch folgende Vektoren aufgespannt

$\begin{eqnarray*} \vec a=\begin{pmatrix} \cos(\phi) \\ \sin(\phi) \\ 0 \end{pmatrix} dr \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec b=\begin{pmatrix} -r\cdot \sin(\phi) \\ r\cdot \cos(\phi) \\ 0 \end{pmatrix} d\phi \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec c=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} dz \end{eqnarray*}$

Das Volumenelement ist gerade die Determinante dieser 3 Vektoren. Eine kurze Rechnung ergibt als Determinante das bekannte Volumenelement bei Zylinderkoordinanten

$\begin{eqnarray*} dV=\det(\vec a, \vec b, \vec c)=r\cdot dr\,d\phi\, dz \end{eqnarray*}$

Oft verwendet man die Bezeichnung "Funktionaldeterminente".

13.05.2016, 12:00

yellowman

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Hallo Ehos und vielen Dank für deinen Beitrag.

Zitat:

Bei krummliniegen Koordinanten stehen die Koordinantenachsen oft schräg aufeinander, so dass das Volumenelement kein Quader ist, sondern ein 3-dimensionales Parallelogramm. Bekanntlich ist das Volumen eines 3-dimensionalen Parallelogrammes, welches von den Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec a, \vec b, \vec c \end{eqnarray*}$ aufgespannt wird, die Determinente dieser Vektoren, also

Krummlinige Koordinatensysteme bilden doch ebenfalls ein Rechtssystem. Die Koordinatenachsen wären im Fall von Zylinderkoordinaten doch:

$\begin{eqnarray*} e_r=(\cos\phi,\sin\phi,0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e_{\phi}=(-\sin\phi,\cos\phi,0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e_z=(0,0,1) \end{eqnarray*}$

Das heißt, dass Skalarprodukt ist zwischen 2 Basisvektoren Null.

Du schreibst nun das bei krummlinigen Koordinaten die Koordinatenachsen schräg aufeinander stehen. Das bezieht sich jetzt auch die Differentiale die kein Rechtssystem bilden? verwirrt

Vielen Dank!!!

13.05.2016, 14:34

Ehos

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Du hast recht:

Zylinderkoordinaten sind orthogonale Koordinaten. Trotzdem gibt es auch bei Zylinderkoordinaten eine gewisse räumliche "Dehnung" des Volumens. Deshalb darf man als Volumenelement nicht einfach das Produkt $\begin{eqnarray*} dV=dr\cdot d\phi\cdot dz \end{eqnarray*}$ nehmen, weil dieses Produkt proportional zum Abstand vom Zentrum r=0 wächst (auch wenn die einzelen Faktoren $\begin{eqnarray*} dr, d\phi, dz \end{eqnarray*}$ gleich bleiben). Mach' dir das mal anhand einer Skizze klar!). Das richtige Volumenelement lautet $\begin{eqnarray*} dV=r \cdot dr\cdot d\phi\cdot dz \end{eqnarray*}$ . Der zusätzliche Faktor r (=Funktionaldeterminente) "korrigiert" diese "Dehnung".

Der allgemeine Weg zur Bestimmung des Volumenelementes ist wie folgt:

Angenommen man hat irgendwelche krummlinigen Koordinaten $\begin{eqnarray*} u_1, u_2,u_3 \end{eqnarray*}$ , welche mit den kartesischen Koordinaten $\begin{eqnarray*} x_1, x_2,x_3 \end{eqnarray*}$ durch folgende Funktionen zusammenhängen

$\begin{eqnarray*} x_1=x_1(u_1,u_2,u_3) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2=x_2(u_1,u_2,u_3) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_3=x_3(u_1,u_2,u_3) \end{eqnarray*}$

Dann lautet das differenzielle Volumenelement dV allgemein

$\begin{eqnarray*} dV=\underbrace{\det \left (\tfrac{\partial \vec x}{\partial u_1}, \tfrac{\partial \vec x}{\partial u_2}, \tfrac{\partial \vec x}{\partial u_3}\right )}_{\text{Funktionaldeterminante}}\,du_1du_2du_3 \end{eqnarray*}$

Dabei bezeichnen $\begin{eqnarray*} \tfrac{\partial \vec x}{\partial u_1} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \tfrac{\partial \vec x}{\partial u_2} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \tfrac{\partial \vec x}{\partial u_3} \end{eqnarray*}$ die Ableitungen des Vektors $\begin{eqnarray*} \vec x=(x_1,x_2,x_3) \end{eqnarray*}$ nach den neuen Koordinaten $\begin{eqnarray*} u_1, u_2,u_3 \end{eqnarray*}$

Beispiel Zylinderkoordinaten:

Hier lautet der Zusammenhang zwischen den Koordinaten

$\begin{eqnarray*} x_1=r\cdot \cos(\phi) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2=r\cdot \sin(\phi) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_3=z \end{eqnarray*}$

Die Ableitungen des Vektor $\begin{eqnarray*} \vec x=(x_1,x_2,x_3) \end{eqnarray*}$ nach den 3 neuen Koordinaten lauten also

$\begin{eqnarray*} \tfrac{\partial \vec x}{\partial r}=\begin{pmatrix} \cos(\phi) \\ \sin(\phi) \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \tfrac{\partial \vec x}{\partial \phi}=\begin{pmatrix} -r\cdot \sin(\phi) \\ r\cdot \cos(\phi) \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \tfrac{\partial \vec x}{\partial z}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Gemäß der obigen allgemeinen Formel lautet das Volumenelement also

$\begin{eqnarray*} dV=\underbrace{\det \begin{pmatrix} \cos(\phi) & -r\cdot \sin(\phi) & a0 \\ \sin(\phi) & r\cdot \cos(\phi) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}_{\text{Funktionaldeterminante}} \,\,dr\,d\phi\,dz \end{eqnarray*}$

Bis Dienstag!

16.05.2016, 21:23

yellowman

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Hallo Ehos, vielen Dank für deine Antwort. Das habe ich nun selber nochmal nachvollzogen und sollte soweit klar sein. Eine Frage habe ich noch.

Zwischen zwei beliebingen Koordinatensystemen $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K' \end{eqnarray*}$ wird wie oben bereits bekannt folgendermaßen transformiert:

$\begin{eqnarray*} dx'^i=\frac{\partial x_j}{\partial x_i'} dx^j \end{eqnarray*}$

Multipliziere ich beide Seiten mit der Ableitung $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dt} \end{eqnarray*}$ erhalte ich die Geschwindigkeit im System $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ und im System $\begin{eqnarray*} K' \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dv'^i=\frac{\partial x_j}{\partial x'_i}dv^j \end{eqnarray*}$

Damit müsste erstmal deutlich werden, dass die Geschwindigkeit in zwei System $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K' \end{eqnarray*}$ wie ein Contravarianter Vektor transformiert werden. Das bezieht sich so gut wie auf die komplette klassische Mechanik da die Beschleunigung und damit auch die Kraft $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ in zwei Systemen ebenfalls wie ein Kontravarianter Vektor transformiert wird.

Betrachtet man das einmal an der Transformation der Geschwindigkeit von Polar nach kartesischen Koordinaten, so gilt:

$\begin{eqnarray*} \binom{dv_x}{dv_y}=\begin{pmatrix}\cos\phi & -r\sin\phi \\ \sin\phi & r\cos\phi\end{pmatrix}\binom{dv_r}{dv_\phi} \end{eqnarray*}$

Das lässt sich etwas umschreiben indem man nicht mehr die Differentiale betrachtet.

$\begin{eqnarray*} \vec{v}=\begin{pmatrix}\dot{r}\cos\phi-r\dot{\phi}\sin\phi \\ \dot{r}\sin\phi-r\dot{\phi}\cos\phi\end{pmatrix}=\dot{r}e_r+r\dot{\phi}e_{\phi} \end{eqnarray*}$

Konkrete Frage: Was bedeutet dass für die Physik, dass zwischen zwei Koordinatensystemen $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K' \end{eqnarray*}$ physikalische Größen wie ein Contravarianter Vektor transformiert werden?

Wenn ich das richtig sehe, müsste die Kraft in verschiedenen KS folgendermaßen transformiert werden:

$\begin{eqnarray*} ma'^{i}=\frac{\partial x'_i}{\partial x_j}ma^j \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F'^i=\frac{\partial x'_i}{\partial x_j}F^j \end{eqnarray*}$

Analog müssten sich weitere Tensorgleichungen herleiten lassen, sehe ich das korrekt?

Erkennt man an dieser Darstellung, dass die Kraft $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ ein polarer Vektor sein muss?

Dieser wird in einem System $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ in ein System $\begin{eqnarray*} K' \end{eqnarray*}$ transformiert und bleibt ein polarer Vektor da es sich um einen kontravarianten Vektor handelt?

Vielen Dank!!!

17.05.2016, 10:40

Ehos

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Ich vermute, du hast die Bedeutung von ko- und kontravarianten Koordinaten noch nicht ganz verstanden. Am Beispiel der Geschwidigkeit in krummliniegen Koordinaten erkläre ich mal, was das bedeutet:

Die "normalen" Koordinaten (welche man aus der Schule kennt) werden in der Indexschreibweise nicht mehr unten indiziert, sondern oben und als "kontravariante" Koordinaten bezeichnet. Die normalen Ortskoordinaten lauten also $\begin{eqnarray*} x^i \end{eqnarray*}$ und die normale Geschwindigkeit lautet $\begin{eqnarray*} \tfrac{dx^i}{dt} \end{eqnarray*}$ . Nach Einführung neuer Koordinaten $\begin{eqnarray*} x^i \rightarrow u^j \end{eqnarray*}$ durch die Formel $\begin{eqnarray*} x^i=x^i(u^j) \end{eqnarray*}$ erhält man für die Geschwindigkeit mittels Kettenregel

$\begin{eqnarray*} \vec v=\begin{pmatrix} \tfrac{dx^1}{dt} \\ \tfrac{dx^2}{dt} \end{pmatrix}=\underbrace{\begin{pmatrix} \tfrac{\partial x^1}{\partial u^1} & \tfrac{\partial x^1}{\partial u^2} \\ \tfrac{\partial x^2}{\partial u^2} & \tfrac{\partial x^2}{\partial u^2} \end{pmatrix}}_{\text{Transformatiuonsmatrix A}}\begin{pmatrix} \tfrac{du^1}{dt} \\ \tfrac{du^2}{dt} \end{pmatrix}=A\dot{\vec u} \end{eqnarray*}$

Das Quadrat der Geschwindigkeit lautet demnach

$\begin{eqnarray*} v^2=\dot {\vec x}\cdot \dot {\vec x}=A\dot {\vec u}\cdot A\dot {\vec u}=\dot{\vec u}\cdot \underbrace{A^TA}_{G}\dot {\vec u}=\dot{\vec u}\cdot G\dot {\vec u}=\underbrace{\dot u^i\cdot G_{ij}\dot u^j}_{\text{Indexschreibweise}} \end{eqnarray*}$

Das Matrixprodukt $\begin{eqnarray*} A^TA=G=G_{ij} \end{eqnarray*}$ bezeichnet man als die Metrik im u-Raum. Um die störende Matrix $\begin{eqnarray*} G=G_{ij} \end{eqnarray*}$ zu unterdrücken, führt man die "kovarianten" Koordinaten ein, die man unten indiziert:

$\begin{eqnarray*} \dot u_i=G_{ij}\dot u^j \end{eqnarray*}$ (=Abkürzung)

Das ist eine reine Abkürzung ohne tieferen Sinn! Man darf diese kovarianten Koordinaten nicht mit den Koordinaten aus der Schulzeit verwechseln, welche ebenfalls unten indiziert wurden. Infolge dieser Abkürzung bekommt das Quadrat der Geschwindigkeit im u-Raum die gleiche Produktform wie im x-Raum

$\begin{eqnarray*} v^2=\dot u^i \cdot \underbrace{ G_{ij}\dot u^j}_{\dot u_i}=\dot u^i\dot u_i \end{eqnarray*}$

Der Sinn der Sache ist, dass die Matrix $\begin{eqnarray*} G=G_{ij} \end{eqnarray*}$ nicht mehr auftaucht. Damit wird diese Schreibweise unabhängig vom Koordinatensystem, welches in der Physik meist uninteressant ist. Zum Beispiel bekommt die kinetische Energie eines Massepunktes m im u-Raum die gleiche einfache Gestalt wie im x-Raum

$\begin{eqnarray*} T=\tfrac{1}{2}m\dot x^i\dot x_i=\tfrac{1}{2}m\dot u^i\dot u_i \end{eqnarray*}$

In kartesischen Koordinaten ist die Metrik formal die Einheitsmatrix $\begin{eqnarray*} G_{ij}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
--------------------------------------------------------------------------------
Zu deiner Frage wegen der Transformation der Kraft

In kartesischen Koordinaten ist die Arbeit W das Skalarprodukt "Kraft mal Weg", also

$\begin{eqnarray*} W=\vec F\cdot \vec x \end{eqnarray*}$

Wir gehen über zu einem beliebigen "schiefen" Koordinantensystem mit Hilfe der Transformation $\begin{eqnarray*} \vec F=A\vec F' \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec x=A\vec x' \end{eqnarray*}$ . Dabei ist A die Transformationsmatrix. Einsetzen ergibt

$\begin{eqnarray*} W=A\vec F'\cdot A\vec x'=\vec F'\cdot \underbrace{A^TA}_{G}\vec x'=\vec F'\cdot G\vec x'=G\vec F'\cdot \vec x' \end{eqnarray*}$

Im letzen Schritt habe ich benutzt, dass die Matrix $\begin{eqnarray*} G=A^TA \end{eqnarray*}$ symmetrisch ist. (Man kann die Matrix G also im ersten oder im zweiten Faktor des Skalarproduktes schreiben!) Wie ich oben erklärt habe, ist die Matrix G gerade die Metrik im "schiefen" Koordinatensystem. Zwecks Abkürzung führt man anstelle der kontravarianten Kraftkoordinaten $\begin{eqnarray*} F'^j \end{eqnarray*}$ die kovarianten Kraftkoordinaten $\begin{eqnarray*} F'_i=G_{ij}F'^{j} \end{eqnarray*}$ ein und bekommt die Arbeit

$\begin{eqnarray*} W=\underbrace{G_{ij}F'^{j}}_{F'_i}\cdot x_i=F'_ix'^i \end{eqnarray*}$

Wunschgemäß hat diese Formel wieder die einfache Struktur: Arbeit=Kraft mal Weg. Die Metrik G taucht also nicht mehr auf. Wesentlich ist, dass sich ko- und kontravariante Größen anders transformieren. (Genauer: Sie transformieren sich kontragredient.) Ansonsten würde die einfache Struktur der Formel zerstört. Das ist gewissermaßen der Tribut, den diese Schreibweise erfordert.

17.05.2016, 11:57

yellowman

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Hallo Ehos, vielen Dank für deine ausführlichen Beitrag. Das Transformationsverhalten von
$\begin{eqnarray*} dx'^i=\frac{\partial x_j}{\partial x_i'} dx^j \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} dv'^i=\frac{\partial x_j}{\partial x'_i}dv^j \end{eqnarray*}$ scheint zu passen zumindest mit der anschließenden Rechnung in der ich explizit von polar nach kartesischen Koordinaten transformiert habe.

Mir ist in dem Zusammenhang allerdings aufgefallen, dass es so zwar für die Geschwindigkeit funktioniert allerdings für die Beschleunigung nicht mehr. Würde man nach der Methode nochmal beide Seiten nach der Zeit ableiten würde dort folgendes stehen:

$\begin{eqnarray*} da'^i=\frac{\partial x_j}{\partial x'_i}da^j \end{eqnarray*}$ und wenn man dies einmal konkret berechnet stimmt das mit der Koordinatentransformation von polar nach kartesischen Koordinaten nicht überein da in Polarkoordinaten die Beschleunigung lautet:

$\begin{eqnarray*} \ddot{\vec r}=(\ddot r - r\dot\varphi^2) \,\vec e_r+(2\dot r \dot \varphi + r \ddot \varphi) \,\vec e_{\varphi} \end{eqnarray*}$

Könntest du mir vielleicht konkret ausgehend von dieser Formel sagen warum das hier nicht mehr klappt? Ich habe nämlich noch eine Aufgabe in der ich mithilfe dieser Formel genau das zeigen soll.

Viele Grüße!!!

17.05.2016, 13:31

Ehos

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Ortsvektor in Polarkoordinaten

$\begin{eqnarray*} x=r\cdot \cos(\phi) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=r\cdot \cos(\phi) \end{eqnarray*}$

Geschwindigkeit in Polarkoordinaten

$\begin{eqnarray*} \underbrace{\begin{pmatrix} \dot x \\ \dot y \end{pmatrix}}_{\dot {\vec x}} =\underbrace{\begin{pmatrix} \cos(\phi) & - r\sin(\phi) \\ \sin(\phi) & r\cos(\phi) \end{pmatrix}}_{\text{Transformationsmatrix }A} \underbrace{\begin{pmatrix} \dot r \\ \dot \phi \end{pmatrix}}_{\dot {\vec u}}=A\dot {\vec u} \end{eqnarray*}$

Die Beschleunigung ergibt sich durch nochmaliges Ableiten nach der Zeit, also

$\begin{eqnarray*} \ddot {\vec x}=\dot A\dot {\vec u}+A\ddot {\vec u} \end{eqnarray*}$

Die Summe auf der rechten Seite ist die "echte" physikalische Beschleunigung. Dich stört der 1.Summand $\begin{eqnarray*} \dot A\dot {\vec u} \end{eqnarray*}$ auf der rechten Seite. Dieser entsteht, weil die Transformationsmatrix A ihrerseits zeitabhängig ist, was beim Differenzieren zu beachten ist. Die 2.Ableitung ist also komplizierter.

17.05.2016, 14:32

yellowman

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Hallo eine abschließende Frage habe ich noch. Ausgehend von:

$\begin{eqnarray*} dx'^i=\frac{\partial x_j}{\partial x_i'} dx^j \end{eqnarray*}$ Wenn ich hier mit $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dt} \end{eqnarray*}$ mutlipliziere, warum muss die rechte Seite hier nicht ebenfalls mittels Produktregel abgeleitet werden wie bei der zweiten Ableitung der Beschleunigung?

Wenn ich das einmal umschreibe mit: $\begin{eqnarray*} x'=Ax \end{eqnarray*}$ erhalte ich hier:

$\begin{eqnarray*} v'=\dot{x'}=\dot{A}x+A\dot{x} \end{eqnarray*}$

Nochmal nach der Zeit differenziert erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} a'=\ddot{x'}=\ddot{A}x+\dot{A}\dot{x}+\dot{A}\dot{x}+A\ddot{x}=\ddot{A}x+2\dot{A}\dot{x}+A\ddot{x} \end{eqnarray*}$

Du schreibst die Beschleunigung transformiert sich folgendermaßen: $\begin{eqnarray*} \ddot {\vec x}=\dot A\dot {\vec u}+A\ddot {\vec u} \end{eqnarray*}$

Das heißt dann auch, dass die Kraft sich zwischen zwei Koordinatensystem folgendermaßen transformiert:

$\begin{eqnarray*} F'=m(\dot A\dot {\vec u}+A\ddot {\vec u}) \end{eqnarray*}$

Analog lassen sich dann auch Impuls und weitere physikalische Größen zwischen zwei Koordinatensystemen umrechnen, sehe ich das richtig?

Viele Grüße!!!

18.05.2016, 13:38

Ehos

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Als Beispiel transformiere ich dir mal die Newtonsche Gleichung in ein beliebiges krummliniges Koordinatensystem. Die Newtonsche Gleichug lautet

$\begin{eqnarray*} m\ddot {\vec x}=\vec F \end{eqnarray*}$ ____________________(1)

Darin sind die Beschleunigung $\begin{eqnarray*} \ddot {\vec{x}} \end{eqnarray*}$ und die Kraft $\begin{eqnarray*} \vec F \end{eqnarray*}$ physikalische Größen, die unabhängig von irgendwelchen Koordinatensystemen immer gleich sind. Dagegen sind die Koordinaten beider Größen in verschieden Koordinatensystemen verschieden.

Wir betrachten eine beliebige Koordinatentransformation in ein krummliniges Koordinatensystem $\begin{eqnarray*} u^1, u^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^1=x^1(u^1,u^2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2=x^2(u^1,u^2) \end{eqnarray*}$

Die Basisvektoren jedes Koordinatensystems sind immer Tangentialvektoren

$\begin{eqnarray*} \vec g_1=\tfrac{\partial \vec x}{\partial u^1} \end{eqnarray*}$ ____________________(2)
$\begin{eqnarray*} \vec g_2=\tfrac{\partial \vec x}{\partial u^2} \end{eqnarray*}$

Im Gegensatz zum kartesischen Koordinatensystem sind diese Basisvektoren bei krummliniegen Systemen ortsabhängig. Trotzdemkann man wie dort jeden Vektor als Linearkombination dieser Basis darstellen. z.B. die Kraft und die Beschleunigung

$\begin{eqnarray*} \vec F=F^1\vec g_1+F^2\vec g_2 \end{eqnarray*}$ ________________________(3)
$\begin{eqnarray*} \vec a=a^1\vec g_1+a^2\vec g_2 \end{eqnarray*}$

Dabei sind $\begin{eqnarray*} a^1, a^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F^1, F^2 \end{eqnarray*}$ die Koordinaten der Beschleunigung bzw. der Kraft im krummlinigen Koordinatensystem, also bezüglich der Basis $\begin{eqnarray*} \vec g_1, \vec g_2 \end{eqnarray*}$ . Die Koordinaten der Beschleunigung berechnen wir unten. Die Koordinaten der Geschwindigkeit kann man dagegen leicht mittels Kettenregel berechnen

$\begin{eqnarray*} \dot x^1=\tfrac{\partial x^1}{\partial u^1}\dot u^1+\tfrac{\partial x^1}{\partial u^2}\dot u^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \dot x^2=\tfrac{\partial x^2}{\partial u^1}\dot u^1+\tfrac{\partial x^2}{\partial u^2}\dot u^2 \end{eqnarray*}$

In Vektorschreibweise heißt das

$\begin{eqnarray*} \dot {\vec x}=\underbrace{\tfrac{\partial \vec x}{\partial u^1}}_{\vec g_1}\dot u^1+\underbrace{\tfrac{\partial \vec x}{\partial u^2}}_{\vec g_2}\dot u^2=\vec g_1\dot u^1+\vec g_2\dot u^2 \end{eqnarray*}$

Offenbar sind $\begin{eqnarray*} \dot u^1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \dot u^2 \end{eqnarray*}$ die Koordinaten der Geschwindigkeit bezüglich des krummlinigen Koordinatensystems. Die Beschleunigung ergibt sich durch nochmaliges Ableiten, wobei die Basisvektoren ebenfalls differenziert werden müssen, da diese ortsabhängig sind (und infolge der Bewegeung auch zeitabhängig).

$\begin{eqnarray*} \ddot {\vec x}=\dot {\vec g}_1\dot u^1+\vec g_1\ddot u^1+\dot {\vec g}_2\dot u^2+\vec g_2\ddot u^2 \end{eqnarray*}$ _______________________________(4)

Die zeitlichen Ableitungen $\begin{eqnarray*} \dot {\vec g}_1=\tfrac{d}{dt} \vec g(u^2,u^2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \dot {\vec g}_2=\tfrac{d}{dt}\vec g(u^2,u^2) \end{eqnarray*}$ der Basisvektoren ergeben sich mittels Kettenregel

$\begin{eqnarray*} \dot {\vec g}_1=\tfrac{\partial \vec g_1}{\partial u^1}\dot u^1+\tfrac{\partial \vec g_1}{\partial u^2}\dot u^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \dot {\vec g}_1=\tfrac{\partial \vec g_1}{\partial u^1}\dot u^1+\tfrac{\partial \vec g_1}{\partial u^2}\dot u^2 \end{eqnarray*}$

Einsetzen in die Gleichung (4) liefert die Beschleunigung in folgender Form

$\begin{eqnarray*} \ddot {\vec x}=\underbrace{(\tfrac{\partial \vec g_1}{\partial u^1}\dot u^1+\tfrac{\partial \vec g_1}{\partial u^2}\dot u^2)}_{\dot {\vec g}_1}\dot u^1+\vec g_1\ddot u^1+\underbrace{(\tfrac{\partial \vec g_2}{\partial u^1}\dot u^1+\tfrac{\partial \vec g_2}{\partial u^2}\dot u^2)}_{\dot {\vec g}_2}\dot u^2+\vec g_2\ddot u^2 \end{eqnarray*}$ ___________________________(5)

Diese Form der Beschleunigung ist unpraktisch, denn (wie alle Vektoren) wollen wir die Beschleunigung gemäß Formel (3) als Linearkombination der Basisvektoren, also in der Gestalt $\begin{eqnarray*} \vec a=a^1\vec g_1+a^2\vec g_2 \end{eqnarray*}$ - genauso wie die Geschwindigkeit $\begin{eqnarray*} \dot {\vec x}=\vec g_1\dot u^1+\vec g_2\dot u^2 \end{eqnarray*}$ . In der Gleichung (5) tauchen aber störende Ableitungen dieser Basisvektoren auf. Um diese zu beseitigen stellen wir diese Ableitungen als Linearkombination der Basisvektoern $\begin{eqnarray*} \vec g_1=\tfrac{\partial \vec x}{\partial u^1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec g_1=\tfrac{\partial \vec x}{\partial u^1} \end{eqnarray*}$ dar wie folgt (Die Koeffizienten bezeichnet man als Christoffel-Symbole.)

$\begin{eqnarray*} \tfrac{\partial g_1}{\partial u^1}={\Gamma_{11}}^1\vec g_1+{\Gamma_{11}}^2\vec g_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \tfrac{\partial g_1}{\partial u^2}={\Gamma_{12}}^1\vec g_1+{\Gamma_{12}}^2\vec g_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \tfrac{\partial g_2}{\partial u^1}={\Gamma_{21}}^1\vec g_1+{\Gamma_{21}}^2\vec g_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \tfrac{\partial g_2}{\partial u^2}={\Gamma_{22}}^1\vec g_1+{\Gamma_{22}}^2\vec g_2 \end{eqnarray*}$

Die Berechnug der Christoffelsymbole führt auf einfache lineare Gleichugssysteme, die wir hier nicht lösen. Einsetzen dieser 4 Gleichungen in Formel (5) und Ausmultiplizieren liefert

$\begin{eqnarray*} \ddot {\vec x}={\Gamma_{11}}^1\dot u^1\dot u^1\vec g_1+{\Gamma_{11}}^2\dot u^1\dot u^1\vec g_2+{\Gamma_{12}}^1\dot u^2\dot u^1\vec g_1+{\Gamma_{12}}^2\dot u^2\dot u^1\vec g_2+\vec g_1\ddot u^1+{\Gamma_{21}}^1\dot u^1\dot u^2\vec g_1+{\Gamma_{21}}^2\dot u^1\dot u^2\vec g_2+{\Gamma_{22}}^1\dot u^2\dot u^2\vec g_1+{\Gamma_{22}}^2\dot u^2\dot u^2\vec g_2+\vec g_2\ddot u^2 \end{eqnarray*}$

Um diese Beschleunigung $\begin{eqnarray*} \vec a=\ddot {\vec x} \end{eqnarray*}$ gemäß Formel (3) in Form einer Linearkombination $\begin{eqnarray*} \vec a=a^1\vec g_1+a^2\vec g_2 \end{eqnarray*}$ zu bekommen, orden wir diese Summe nach Basisvektoren

$\begin{eqnarray*} \ddot {\vec x}=\underbrace{({\Gamma_{11}}^1\dot u^1\dot u^1+{\Gamma_{21}}^1\dot u^1\dot u^2+{\Gamma_{12}}^1\dot u^2\dot u^1+\ddot u^1+{\Gamma_{22}}^1\dot u^2\dot u^2)}_{\text{Koordinate der Beschleunigung bzgl. des Basisvektors }\vec g_1}\cdot \vec g_1+\underbrace{({\Gamma_{21}}^2\dot u^1\dot u^2+{\Gamma_{12}}^2\dot u^2\dot u^1+{\Gamma_{22}}^2\dot u^2\dot u^2+\ddot u^2+{\Gamma_{11}}^2\dot u^1\dot u^1)}_{\text{Koordinate der Beschleunigung bzgl. des Basisvektors }\vec g_2}\cdot \vec g_2 \end{eqnarray*}$ ____________(6)

Diese Formel (6) und die Kraft $\begin{eqnarray*} \vec F=F^1\vec g_1+F^2\vec g_2 \end{eqnarray*}$ aus Formel (3) setzen wir nun in die Newtonsche Gleichung (1) ein. Dabei lässt man die Basissvektoren $\begin{eqnarray*} \vec g_1, \vec g_2 \end{eqnarray*}$ oft weg und schreibt nur die Koordinaten. So bekommt man die Newtonsche Gleichung bezüglich beliebiger krummliniger 2-dimensionalen Koordinaten

$\begin{eqnarray*} m\cdot \begin{pmatrix} {\Gamma_{11}}^1\dot u^1\dot u^1+{\Gamma_{21}}^1\dot u^1\dot u^2+{\Gamma_{12}}^1\dot u^2\dot u^1+\ddot u^1+{\Gamma_{22}}^1\dot u^2\dot u^2 \\ {\Gamma_{21}}^2\dot u^1\dot u^2+{\Gamma_{12}}^2\dot u^2\dot u^1+{\Gamma_{22}}^2\dot u^2\dot u^2+\ddot u^2+{\Gamma_{11}}^2\dot u^1\dot u^1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} F_1 \\ F_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Oft bringt man alle 1.Ableitungen auf die rechte Seite (wo die Kraft steht)

$\begin{eqnarray*} m\cdot \begin{pmatrix} \ddot u^1 \\ \ddot u^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} F_1 \\ F_2 \end{pmatrix}-\underbrace{\begin{pmatrix}{\Gamma_{11}}^1\dot u^1\dot u^1+{\Gamma_{21}}^1\dot u^1\dot u^2+{\Gamma_{12}}^1\dot u^2\dot u^1+{\Gamma_{22}}^1\dot u^2\dot u^2\\ {\Gamma_{21}}^2\dot u^1\dot u^2+{\Gamma_{12}}^2\dot u^2\dot u^1+{\Gamma_{22}}^2\dot u^2\dot u^2+{\Gamma_{11}}^2\dot u^1\dot u^1\end{pmatrix}}_{\text{"Scheinkräfte"}} \end{eqnarray*}$

Diese Scheinkräfte sind z.B. die Zentrifugalkraft oder die Corioliskraft, welche wirken, wenn man z.B. in einem Bus sitzt, der um die Kurve fährt (=krummliniges Koordinatensystem).

19.05.2016, 23:28

yellowman

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Hallo Ehos, ich befürchte das übersteigt noch meinen Kenntnisstand. Wenn du noch nicht die Hoffnung mit mir verloren hast, hätte ich zu der Transformation noch weitere Fragen.

Ein kontravarianter Vektor wird transformiert mit:

$\begin{eqnarray*} V'^{i}=\frac{\partial x'_i}{\partial x_j}V^j \end{eqnarray*}$

Ich habe nun versucht einen Vektor mittels den Gleichungen $\begin{eqnarray*} x=r\cos\phi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=r\sin\phi \end{eqnarray*}$ zu transformieren. So wirklich Sinn ergeben meine Rechnungen allerdings nicht und deshalb frage ich mich ob das überhaupt Sinn ergibt.

Ich habe heute noch gelernt das sich ein kontra zu einem ko und ein ko zu einem kontravarianten Vektor umrechnen lässt mittels des metrischen Tensors.
Hier gilt:

$\begin{eqnarray*} V^i=g^{ij}V_j \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} V_i=g_{ij}V^j \end{eqnarray*}$

Die jeweiligen Matrixdarstellungen kann man auf der Wikipedia entnehmen: https://de.wikipedia.org/wiki/Metrischer_Tensor

Hier wollte ich erstmal ansetzen um anschließend den Abstand $\begin{eqnarray*} ds^2=g^{ij}dx_idx_j \end{eqnarray*}$ näher zu betrachten wie auch die Transformationsformel für die Differentiale um das mit der Geschwindigkeit und Beschleunigung wie auch der Darstellung des Ko und Kontravarianten Vektors zu verstehen.
Vielleicht als kleiner Background, wir lernen an der Uni momentan ein wenig zur speziellen Relativitätstheorie und dort haben wir die Minkowski Metrik eingeführt. Hier ergibt sich dann der Abstand im Minkowski Raum zu $\begin{eqnarray*} ds^2=c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2 \end{eqnarray*}$ . Damit lässt sich der Schluss zur Zeitdilatation ziehen.

Viele Grüße

20.05.2016, 11:25

Ehos

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Ich beantworte mal drei deiner Fragen. Bin am Montag wieder da.
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1.Frage:
Wie transformiert man einen Vektor Vektor $\begin{eqnarray*} \vec V \end{eqnarray*}$ von kartesischen Koordinaten auf krummlinige Polarkoordinaten. Letztere lauten bekanntlich

$\begin{eqnarray*} \vec x(u^1,u^2)=\begin{pmatrix} x^1 \\ x^2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} u^1\cdot \cos(u^2) \\ u^1\cdot \cos(u^2) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dabei ist $\begin{eqnarray*} u^1=\text{Radius }r \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u^2=\text{Winkel }\phi \end{eqnarray*}$

Antwort :
Koordinatentransformationen sind eigentlich ziemlich einfach (Schulmathematik): Bekanntlich hat ein und derselbe Vektor $\begin{eqnarray*} \vec V \end{eqnarray*}$ in zwei verschiedenen Koordinatensystemen zwei verschiedene Darstellungen (=verschiedene Linearkombination)

$\begin{eqnarray*} \vec V=\underbrace{\vec g_1\cdot V^1+\vec g_2\cdot V^2}_{\text{kartesische Darstellung}}=\underbrace{\tilde {\vec g}_1\cdot \tilde V^1+\tilde{\vec g}_2\cdot \tilde V^2 }_{\text{krummlinige Darstellung}} \end{eqnarray*}$

Bezeichnungen:

$\begin{eqnarray*} \tilde {\vec g}_1,\tilde{\vec g}_2=\text{krummlinige Basisvektoren} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec g_1,\vec g_2=\text{kartesische Basisvektoren} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \tilde V^1,\tilde V^2=\text{krummlinige Koordinaten des Vektors }\vec V \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} V^1,V^2=\text{kartesische Koordinaten des Vekors } \vec V \end{eqnarray*}$

Die kartesischen Basisvektoren lauten bekanntlich

$\begin{eqnarray*} \vec g_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec g_2=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die krummlinigen Basisvektoren $\begin{eqnarray*} \tilde{\vec g}_1, \tilde{\vec g}_2 \end{eqnarray*}$ sind (wie immer) die Ableitung des obigen Vektors $\begin{eqnarray*} \vec x(u^1, u^2) \end{eqnarray*}$ nach den neuen Koordinaten $\begin{eqnarray*} u^1, u^2 \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} \tilde{\vec g}_1=\tfrac{\partial \vec x}{\partial u^1}=\begin{pmatrix} \cos(u^2) \\ \sin(u^2) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \tilde{\vec g}_2=\tfrac{\partial \vec x}{\partial u^2}=\begin{pmatrix} -u^1\sin(u^2) \\ u^1\cos(u^2) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Einsetzen dieser kartesischen und krummlinigen Basisvektoren $\begin{eqnarray*} \vec g_1, \vec g_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \tilde{\vec g}_1, \tilde{\vec g}_2 \end{eqnarray*}$ in die obige Linearkombination des Vektors $\begin{eqnarray*} \vec V \end{eqnarray*}$ ein ergibt

$\begin{eqnarray*} \vec V=\underbrace{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\cdot V^1+\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\cdot V^2}_{\text{kartesische Darstellung}}=\underbrace{\begin{pmatrix} \cos(u^2) \\ \sin(u^2) \end{pmatrix}\cdot \tilde V^1+\begin{pmatrix} -u^1\sin(u^2) \\ u^1\cos(u^2) \end{pmatrix}\cdot \tilde V^2 }_{\text{krummlinige Darstellung}} \end{eqnarray*}$

Dies schreiben wir in Matrixform

$\begin{eqnarray*} \vec V=\underbrace{\begin{pmatrix} V^1 \\ V^2 \end{pmatrix}}_{\text{kartesische Darstellung}}=\underbrace{\overbrace{\begin{pmatrix} \cos(u^2) & -u_1\sin(u^2)\\ \sin(u^2) & u_1\cos(u^2)\end{pmatrix}}^{\text{Transformationsmatrix A}}\begin{pmatrix} \tilde V^1 \\ \tilde V^2 \end{pmatrix}}_{\text{krummlinige Darstellung}} \end{eqnarray*}$

Das ist ein lineares Gleichungssystem für die gesuchten krummlinigen Koordinaten $\begin{eqnarray*} \tilde V^1, \tilde V^2 \end{eqnarray*}$ , welches du lösen musst.
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2.Frage:
Was ist der metrische Tensor!

Antwort
Wenn man irgendeine krummlinige Basis $\begin{eqnarray*} \tilde {\vec g}_1, \tilde{\vec g}_2 \end{eqnarray*}$ hat, so versteht man in der Riemannschen Geometrie unter dem metrischen Tensor die Matrix

$\begin{eqnarray*} \tilde G_{ij}=\begin{pmatrix}\tilde {\vec g}_1\tilde {\vec g}_1 & \tilde {\vec g}_1\tilde {\vec g}_2 \\ \tilde {\vec g}_2 \tilde {\vec g}_1 & \tilde {\vec g}_2 \tilde {\vec g}_2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das heißt, die Matrixelement des metrischen Tensors sind Skalarprodukte aus Basisvektoren. Laut dieser Definition ist der metrische Tensor also immer eine symmetrische nxn-Matrix. Wie man leicht nachrechnen kann, ist der metrische Tensor bezüglich der kartesischen Basis $\begin{eqnarray*} \vec g_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \vec g_2=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gerade die Einheitsmatrix $\begin{eqnarray*} G_{ij}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Bezüglich der obigen krummlinigen Basis $\begin{eqnarray*} \tilde{\vec g}_1=\tfrac{\partial \vec x}{\partial u^1}=\begin{pmatrix} \cos(u^2) \\ \sin(u^2) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \tilde{\vec g}_2=\tfrac{\partial \vec x}{\partial u^2}=\begin{pmatrix} -u^1\sin(u^2) \\ u^1\cos(u^2) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ lautet der metrische Tensor demnach

$\begin{eqnarray*} G_{ij}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & (u^1)^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & r^2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
----------------------------------------------------------------------------------------------
3.Frage:
Was sind ko- und kontravariante Koordinaten und wie transformiert man sie ineinander?

Antwort
Kontravariante Koordinaten sind die "normalen" Koordinaten, die man aus der Schule kennt und die dort stets unten indiziert wurden. Zum Beispiel schrieb man in der Schule den Kraftvektor gemäß $\begin{eqnarray*} (F_1,F_2) \end{eqnarray*}$ . In der neuen Schreibweise schreibt man den gleichen Kraftvektor komischerweise mit oberen Indizes als $\begin{eqnarray*} (F^1,F^2) \end{eqnarray*}$ . Es wäre besser gewesen, wenn man die alte Indexstellung beibehalten hätte, aber das hat sich nunmal so einbürgert.

Kovariante Koordinaten ergeben sich durch eine rein formale Definition. Man erhält sie, indem man auf die kontravarianten Koordinaten den metrischen Tensor anwendet, also

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}F_1 \\ F_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}G_{11} & G_{12} \\ G_{21} & G_{22}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}F^1 \\ F^2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Motivation der Einführung der kovarianten Koordinaten ist, dass sich damit die Gleichungen (z.B. in der Relativitätstheorie) einfacher und kürzer darstellen lassen. Ansonsten hat die Einführung der kovarianten Koordinaten keinen tiefen Sinn.

Ich wiederhole nochmal: Die kovarianten Koordinaten, die unten indiziert werden, darf man nicht verwechseln mit den Koordinaten, die man aus der Schule kennt (die ebenfalls unten indiziert wurden), denn letztere waren ja gerade die "normalen" kontravarianten Koordinaten.

Diese Konfusion hätte man vermieden, wenn man die Indexstellung genau umgekehrt definiert hätte.

01.06.2016, 16:17

yellowman

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Hallo Ehos und vielen Dank für deine Antworten. Ich werde dazu leider erst in den nächsten Semesterferien weiter machen können möchte aber gleichzeitig diesen Thread nutzen um eine weitere Frage zu stellen da ich denke das diese ebenfalls zu dem Thema passt.

Frage: Ist die Determinante invariant unter Koordinatentransformation?
Ich habe dazu schon etwas gegoogelt und immer wieder invariante Größen in Form von der Spur $\begin{eqnarray*} trA=g_{\alpha\beta}A^{\alpha\beta} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ist metrischer Tensor.
Ebenfalls habe ich gefunden das die Determinante invariant unter Lorentztransformation ist. Da die Lorentztransformation eine lineare Transformation ist, muss die Determinante invariant unter Drehung der Basisvektoren sein.

Ebenfalls weiß ich, dass die Determinante ein Tensor 0.Stufe sein muss da $\begin{eqnarray*} detA \end{eqnarray*}$ eine skalare Größe ist und ein Skalar ist unabhängig vom gewählten Koordinatensystem was z.B. ebenfalls für die skalare Größe der Masse ebenfalls gilt.
Nach meiner Vermutung müsste unabhängig von der gewählten Basis, die Determinante den selben Wert besitzen. Das heißt, ob man Polar,Zylinder, Kugel oder kartesische Koordinaten als Basis z.B. nimmt, die Determinante müsste immer den selben Wert liefern und wäre somit unabhängig vom bevorzugten Koordinatensystem. Wenn man so will eine Größe im Universum die unabhängig vom KS ist. Da allerdings mit der Determinante weitere Größen wie das Volumen eines Spats definiert werden kann, wird dadurch der Begriff des Volumens eine unabhängige Größe vom bevorzugten Koordinatensystems und damit eine unabgängige Eigenschaft eines Objektes genau wie die Masse.
Sehe ich das richtig?

Viele Grüße

02.06.2016, 10:00

Ehos

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Nein, die Determinenate ist nicht invariant gegebenüber Koordinantentransformationen!

Anschaulich ist die Determinante von n Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec a_1, \vec a_2,...,\vec a_n \end{eqnarray*}$ gerade das Volumen V des n-dimensionalen Paralleleogrammes, das durch diese Vektoren aufgespannt wird, also:

$\begin{eqnarray*} V=\det(\vec a_1, \vec a_2,...,\vec a_n) \end{eqnarray*}$

Das gilt aber nur bezüglich der Standardbasis! Führt man eine Koordinatentransformation durch gemäß $\begin{eqnarray*} \vec a_k=A\tilde{\vec a}_k \end{eqnarray*}$ mit k=1,2,...,n, wobei A die Transformationsmatrix ist, so wird aus dem Volumen mit Hilfe der Formel $\begin{eqnarray*} \det(A)\cdot \det(B)=\det(AB) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V=\det(A \tilde {\vec a}_1, A\tilde{\vec a}_2,..., A\tilde{\vec a}_n)=\underbrace{\det(A)}_{\text{Faktor}}\cdot \,\,det(\tilde {\vec a}_1, \tilde {\vec a}_2,..., \tilde {\vec a}_n) \end{eqnarray*}$

Offenbar ist das Volmen eines Körpers eine absolute Größe, die nicht vom Koordinatensystem abhängen darf. Das Volmen ist also stets invariant gegenüber Koordinatentransformationen. Demnach sind die Zahlenwerte V in beiden Formeln identisch. Die Determinante ist aber nicht invariant gegenüber Koordinantentransformationen. Setzt man nämlich beide Formeln gleich, erhält man wegen des "störenden" Faktors $\begin{eqnarray*} \det(A) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \det(\vec a_1, \vec a_2,...,\vec a_n)\neq det(\tilde {\vec a}_1, \tilde {\vec a}_2,..., \tilde {\vec a}_n) \end{eqnarray*}$

Die Determinante ist also kein Tensor Stufe, nur das Volumen! Zur Erinnerung die Definition eines Tensors: Ein Tensor n-ter Stufe ist eine multilineare Abbildung, die n Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec a_1, \vec a_2,...,\vec a_n \end{eqnarray*}$ auf eine Zahl abbildet (hier: das Volumen V), welche unabhängig vom Koordiantensstem ist.

02.06.2016, 20:12

yellowman

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Hallo Ehos, vielen Dank für deinen Beitrag. Die Determinante wäre aber unter Lorentztransformationen bzw. unter linearen Transformationen invariant sprich, Drehung des Koordinatensystems?
Wäre das die einzige Transformation die die Determinante invariant lässt?

Viele Grüße!

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Transformationsformel & Kontravarianter Vektor

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