Beschränktheit, Konvergenz und Monotonie einer Folge

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Beschränktheit, Konvergenz und Monotonie einer Folge
Meine Frage:
Hallihallo Wink
Ich habe ganz neu das Thema der Folgen und Reihen im Studium bekommen und blicke noch nicht vollkommen durch, was ich eigentlich tun soll. Folgende Aufgaben versuche ich zu lösen:
1) Untersuchen Sie die Menge

auf Beschränkthei nach oben und unten und bestimmen Sie gegebenfalls Supremum und Infimum.

2) Untersuchen Sie die Folge mit

auf Monotonie, Beschränkheit und Konvergenz.

Meine Ideen:
Nun dachte ich, ich hätte einen Ansatz. Und zwar war ich der Meinung, dass die Folge der 1. Aufgabe ihr Infimum bei 2 hätte, aber das scheint nicht ganz zu stimmen, wie mir gesagt wurde. Das einzige, wo ich mir einigermaßen sicher bin, ist dass meine 2. Folge gegen konvergiert.
Ich wäre sehr froh, wenn mir hier jemand ein paar Hilfestellung geben könnte, da ich da ziemlich ratlos bin. verwirrt Gott
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RE: Beschränktheit, Konvergenz und Monotonie einer Folge
Bei 1) gibt es gar keine Folge. Es geht um eine Menge. Um ein Gefühl für die Elemente der Menge zu bekommen, kann man z.B. zuerst n festhalten und m verschiedene Werte annnehmen lassen. Dann umgekehrt.
Haben die Elemente der Menge alle gleiches Vorzeichen?

Bei 2) prüft man eben nach, ob die Folge monoton ist.
Wenn die Konvergenz nicht mehr begründet werden muss (was bei Anfängern nicht der Fall ist!), dann folgt die Beschränktheit automatisch.
Sonst zeigt man Beschränktheit und bekommt die Konvergenz geschenkt.
DrHWI Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beschränktheit, Konvergenz und Monotonie einer Folge
Zu 1)
Ich würde behaupten, dass alle Elemente positiv sind, da wir uns ja nur im Bereich der natürlichen Zahlen für n und m bewegen. Darum nahm ich auch an, dass mein Infimum bei 2 liegt, da ich als kleinstes n, m nur 1 einsetzen kann. Allerdings scheint das aber eben nicht genügend zu sein. Ein Supremum gibt es meiner Meinung nach nicht. Aber wie kann ich die Beschränkheit nachweisen? verwirrt
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RE: Beschränktheit, Konvergenz und Monotonie einer Folge
Alle Elemente sind positiv, das stimmt schon mal. Hast du meinen anderen Vorschlag ausprobiert?
Wenn es kein Supremum gibt, kann die Menge doch gar nicht nach oben beschränkt sein.
DrHWI Auf diesen Beitrag antworten »

Aaah... genau, ich hatte einen Denkfehler beim Einsetzen verschiedener Werte für n und m. Das Infimum müsste bei 0 liegen? smile
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Yepp, das Infimum ist richtig.
 
 
DrHWI Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, langsam aber sicher auf dem richtigen Weg. Vielen lieben Dank. Gott Wie kann ich denn zeigen, dass die Menge nun beschränkt ist? Ich meine, mir ist bekannt, dass ein vorhandenes Infimum impliziert, dass die Menge beschränkt sein muss, aber nichtsdestotrotz ist ja meine erste Aufgabe zu zeigen, dass die Menge beschränkt ist, um dann herauszufinden, wie das Infimum/Supremum heißen. Ich habe schwach in Erinnerung, dass wir immer eine Ungleichung in der Art aufgestellt haben? verwirrt
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Lies nochmal genau nach, was deine Aufgabe ist
DrHWI Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe jetzt die Musterlösung bekommen und da steht genau das drin, was ich meinte, dort ist geschrieben:
M ist nicht nach oben beschränkt, da es für jedes ein gibt, so dass x < n ist. Also ist insbesondere , wobei ist.
Was genau soll das bedeuten und warum stellen wir diese Ungleichung auf? verwirrt
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Ich darf dich mal daran erinnern, was du geschrieben hast:
Zitat:
aber nichtsdestotrotz ist ja meine erste Aufgabe zu zeigen, dass die Menge beschränkt ist,

Das war eben nicht deine Aufgabe. Deshalb solltest du auch nochmal genau nachlesen.
Dort steht eindeutig "Untersuche die Menge [...] auf Beschränktheit". Bei dieser Formulierung ist eben nicht gesagt, dass die Menge beschränkt ist.
Deshalb ist
Zitat:
Wie kann ich denn zeigen, dass die Menge nun beschränkt ist?

eine sinnlose Frage.
Und
Zitat:
Ich meine, mir ist bekannt, dass ein vorhandenes Infimum impliziert, dass die Menge beschränkt sein muss,

ist schlichtweg falsch. Ein endliches Infimum impliziert, dass die Menge nach unten beschränkt ist, mehr nicht.
DrHWI Auf diesen Beitrag antworten »

Das hat jetzt wenig dazu beigetragen die Ungleichungen zu verstehen...
Mir ist bewusst, dass ich auf dem Weg des Lösens der Aufgabe viele Fehler mache und ich erst sehr langsam beginne ein Verständnis für das Themengebiet zu entwickeln. Aber ich versuche zu verstehen. Also frage ich "sinnlose Fragen". Dabei hilft es nicht in allzu großem Maße mir unter die Nase zu reiben, dass ich kein Verständnis für die Aufgabe habe. Das war mir bewusst.
Wie auch immer. Vielen Dank für gute Hilfe. Gott smile
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Es geht nicht darum, Fehler zu machen. Das ist völlig normal.
Es geht darum, die Aufgabenstellung richtig zu lesen - insbesondere nachdem ich dich nochmal darauf hingewiesen habe.

Wie auch immer. Ich bin hier raus Wink
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