Integrationstheorie

13.05.2016, 10:49	burls	Auf diesen Beitrag antworten »
Integrationstheorie Meine Frage: Hallo, ich höre zurzeit die Stochastik II. Hänge aber leider aus gesundheitlichen Gründen etwas hinter her. Folgende Übungsaufgabe ist zu lösen: Bestimmen Sie die folgenden Integrale: [attach]41622[/attach] Meine Ideen: Mir fällt relativ schwer was damit anzufangen. Brauche ich bei der a) gar nicht wissen wie f aussieht? Reicht da schon die Reellwertigkeit? Und bei der b) integriere ich ja über alle rationalen Zahlen. Müsste das Integral dann nicht $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ sein? Ich hoffe mir kann jemand helfen. LG
17.05.2016, 11:21	burls	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integrationstheorie Kann mir niemand helfen?
17.05.2016, 14:03	Zündholz	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integrationstheorie Hallo, was ist mit $\begin{eqnarray} \xi_1 \end{eqnarray}$ gemeint? Vielleicht $\begin{eqnarray} \xi_1(A) = 1 \end{eqnarray}$ falls $\begin{eqnarray} 1 \in A \end{eqnarray}$ und Null sonst? Allgemein solltest du dir vermutlich erstmal klar werde, was es bedeutet (für das Integral) über eine Nullmenge zu integrieren bzw. über eine Menge mit vollem Maß. Damit sieht man dann ziemlich schnell was bei den ersten drei Integralen rauskommen muss. Für das letzte Integral solltest du dir klar machen, dass es sich bei $\begin{eqnarray} \pi_\lambda \end{eqnarray}$ um eine Dichte bzgl. des Zählmaßes handelt. Jetzt kann man analog wie z.B. bei der Normalverteilung (die ja Dichte bzgl. Lebesgue-Maß besitzt) das Integral als Integral bzgl. Zählmaß umschreiben. Schließlich sollte man noch wissen dass das Integral bzgl. Zählmaß immer als Summe geschrieben werden kann. Hilft das weiter? Schöne Grüße
17.05.2016, 18:09	burls	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integrationstheorie Das ist zumindest schonmal ein Ansatz, vielen Dank! Die Integration über Nullmengen muss ich mir dann wirklich erstmal anschauen, das ist für mich was ganz neues. Wenn das jemand schön erklären kann, bitte gerne Was das $\begin{eqnarray} \xi_1 \end{eqnarray}$ bedeutet weiß ich leider selbst nicht, versuche mich da aber nochmal schlau zu machen.
18.05.2016, 13:58	burls	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integrationstheorie Also zu der Bezeichnung habe ich noch das in unserer Literatur gefunden: [attach]41679[/attach] Dann würde das ja stimmen. Aber dort ist es ja ein Epsilon und in der Aufgabe eher ein Xi, oder? Also die Integrale b) und c) habe ich jetzt hinbekommen, bei den anderen beiden hänge ich noch.
19.05.2016, 13:27	Zündholz	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integrationstheorie Wie hast du b) und c) gelöst? Das Prinzip funktioniert auch bei a) (ich gehe mal davon aus dass es sich um besagtes Maß handelt): Zunächst kannst du zeigen $\begin{eqnarray} 1_{\{1\}^c} = 0,\ \xi_1 \end{eqnarray}$ fast sicher. Daraus kann man sehr schnell erkennen, was dann für das Integral rauskommen muss. Bei der Letzten: Also wie gesagt, falls man mit $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ das Zählmaß bezeichnent, also $\begin{eqnarray} \mu = \sum_{i \in \mathbb N_0} \xi_i \end{eqnarray}$ , so folgt dann, da $\begin{eqnarray} \pi_\lambda \end{eqnarray}$ eine Dichte bezüglich dem Zählmaß besitzt, also $\begin{eqnarray} \frac{d \pi_\lambda}{d \mu}(n) = \frac{\lambda^n}{n!} e^{-\lambda},\quad n \in \mathbb N_0 \end{eqnarray}$ (man kann das auch als Dichte auf $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ auffassen und die Maße als Maße auf $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ , je nachdem was einem lieber ist), dass (für integrierbare $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ): $\begin{eqnarray} \int f d \pi_\lambda = \int f \frac{d \pi_\lambda}{d \mu} d \mu = \sum_{n \in \mathbb N_0} f(n) \frac{d \pi_\lambda}{d \mu}(n) \end{eqnarray}$ (die erste Gleichung zeigt man meistens im Kontext von dem Radon Nikodym Theorem) Schöne Grüße
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