Normalverteilung Erwartrungstreue und Konsistenz

05.03.2007, 16:21

Chris_R

Normalverteilung Erwartrungstreue und Konsistenz

Hallo!

Seien $\begin{eqnarray*} X_1,...,X_n \end{eqnarray*}$ unabhängig und identisch verteilt bezüglich $\begin{eqnarray*} P_\vartheta \end{eqnarray*}$ mit Verteilung $\begin{eqnarray*} N(0,\vartheta) \end{eqnarray*}$

Ich habe den Maximum-Likelihood-Schätzer $\begin{eqnarray*} \widehat\vartheta _n \end{eqnarray*}$ für den Parameter $\begin{eqnarray*} \vartheta \end{eqnarray*}$ berechnet:

$\begin{eqnarray*} \widehat\vartheta _n = \frac{1}{n} \cdot \sum\limits_{i = 1}^n {x_i ^2 } \end{eqnarray*}$

Nun möchte ich zegen, dass er erwartungstreu und konsistent ist. Wie mache ich das?

Gruß,
Chris

05.03.2007, 16:50

Zahlenschubser

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RE: Normalverteilung Erwartrungstreue und Konsistenz
Hallo!

Aus Erwartungstreue würde Konsistenz direkt folgen. Erwartungstreue ist in diesem Fall jedoch nicht gegeben!

Um den kompletten Weg zu zeigen, reicht leider meine Zeit gerade nicht, aber du musst ein Nullergänzung vornehmen und den Ausdruck neu auflösen (daher auch den Mittelwert von Null mit in die Gleichung aufnehmen!).

Konsistenz kannst du über den Wahrscheinlichkeitslimes zeigen.

05.03.2007, 16:55

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Zitat:

Original von Zahlenschubser
Aus Erwartungstreue würde Konsistenz direkt folgen. Erwartungstreue ist in diesem Fall jedoch nicht gegeben!

Hier irrst du leider doppelt: Aus Erwartungstreue folgt i.a. nicht Konsistenz. Außerdem ist $\begin{eqnarray*} \widehat\vartheta_n \end{eqnarray*}$ hier tatsächlich erwartungstreu für $\begin{eqnarray*} \vartheta \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Vielleicht hast du es mit

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \cdot \sum\limits_{i = 1}^n (x_i-\bar{x}) ^2 \end{eqnarray*}$

verwechselt, das wäre in der Tat nicht erwartungstreu.

05.03.2007, 21:21

Chris_R

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Außerdem ist $\begin{eqnarray*} \widehat\vartheta_n \end{eqnarray*}$ hier tatsächlich erwartungstreu.

Hallo Arthur!

Kannst Du mir Rat diesbezüglich geben?

Gruß,
Chris

07.03.2007, 17:38

Chris_R

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Hallo!

Ich hab's!

$\begin{eqnarray*} E_\vartheta \left( {\frac{1}{n} \cdot \sum\limits_{i = 1}^n {X_i ^2 } } \right) = \frac{1}{n} \cdot \sum\limits_{i = 1}^n {E_\vartheta \left( {X_i ^2 } \right)} = E_\vartheta \left( {X_1 ^2 } \right) = E_\vartheta \left( {X_1 ^2 } \right) - \underbrace {\left( {E\left( {X_1 } \right)} \right)^2 }_{ = 0} = V(X_1 ) = \vartheta \end{eqnarray*}$

Konsistenz:

$\begin{eqnarray*} P\left( {\left| {\widehat\vartheta _n - \vartheta } \right| \geqslant \varepsilon } \right)\mathop \leqslant \limits_{Tschebyschev} \frac{1}{{\varepsilon ^2 }} \cdot V\left( {\widehat\vartheta _n } \right) =\frac{1}{{\varepsilon ^2 }} \cdot \frac{{2\vartheta ^2 }}{n}\xrightarrow{{n \to \infty }}0 \end{eqnarray*}$

Gruß,
Chris

07.03.2007, 17:45

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Hatte den Thread aus den Augen verloren, sorry. Aber du hast es ja selber rausgekriegt, ist alles Ok. Freude

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