Aufgabe zum Fixpunktverfahren

14.05.2016, 11:45

Oggel

Auf diesen Beitrag antworten »

Aufgabe zum Fixpunktverfahren

Hallo Leute,

ich komme bei dieser Aufgabe nicht ganz weiter.

Mein Ansatz zu (1):

Ich habe die vorhandenen Informationen einfach mal eingesetzt und komme dann auf:
$\begin{eqnarray*} F(x) = M^{-1} * N * \vec{x} + M^{-1} * ((M-N)*\vec{x} ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = M^{-1} * N * \vec{x} + E - M^{-1} * N * \vec{x} \end{eqnarray*}$

und wenn man davon ausgeht, dass die beiden x Vektoren gleich sind kommt man auf die Einheitsmatrix. Ist das damit bewiesen?

Mein Ansatz zu (2a):
Das ist ja eine rekursiv definierte Folge. Angenommen es gibt eine Grenzwert x:

$\begin{eqnarray*} x = T * x + c \end{eqnarray*}$
Dann wäre er:

$\begin{eqnarray*} x = -\frac{c}{T-1} \end{eqnarray*}$

Wäre jetzt hier der nächste Schritt zu beweisen, dass die rekursive Folge konvergiert? Also auf Monotonie und Beschränktheit untersuchen?

Ich hoffe ihr könnt mir helfen. Danke schonmal smile

smile

14.05.2016, 20:08

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Aufgabe zum Fixpunktverfahren
zu (1) hast du bisher nur gezeigt, dass aus Ax=b auch F(x)=x folgt. Es fehlt noch die andere Richtung.
Edit: Und natürlich ein Paar Klammern.

Edit (2a) machen wir doch gleich mal weiter
Das ist eine rekursiv definierte Folge, aber im allgemeinen nicht in den reellen Zahlen. Deswegen sind Monotonie und Beschränktheit hier die falschen Ideen.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x = -\frac{c}{T-1} \end{eqnarray*}$

Was für ein Objekt ist T? Welche Bedeutung soll der Ausdruck haben?

15.05.2016, 13:16

Oggel

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antwort.

Also zu (1): Ich bekomme die andere Richtung irgendwie nicht hin. Habe jetzt versucht die gegebenen Werte in $\begin{eqnarray*} A * \vec{x} = b \end{eqnarray*}$ einzusetzen. Also für $\begin{eqnarray*} A = M-N \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} \vec{x} = T*\vec{x} +c \end{eqnarray*}$ aber da komme ich auch durch umformen nicht wirklich auf ein gescheites Ergebnis.

und zu (2): Habe mir gedacht, dass der Ausdruck der Grenzwert ist, gegen den die Folge läuft. Und T soll eigentlich die Spektralnorm sein von einer Matrix T, wobei das im Endeffekt auch nur eine reelle Zahl ist die kleiner als 1 sein soll.

Kannst du mir auf die Sprünge helfen? Komme irgendwie nicht weiter.

15.05.2016, 13:32

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

(1) Zu zeigen ist fx=x. Also starte mit Fx=...
(2) T ist eine Matrix und keine Zahl. Die Idee ist nicht verkehrt, weil bei Konvergenz der Iteration und der Stetigkeit von T dann sicher x=Tx+c gilt. Das heißt aber (I-T)x=c wobei I die Einheitsmatrix ist.
(2a) ist letztlich nur eine Konsequenz des Banachschen Fixpunktsatzes.

15.05.2016, 14:00

Oggel

Auf diesen Beitrag antworten »

(1) das habe ich doch oben schon gemacht oder?

15.05.2016, 14:09

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast so recht.
Also $\begin{eqnarray*} Ax=(M-N)x=M(...)x=... \end{eqnarray*}$

Anzeige

15.05.2016, 14:21

Oggel

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry.
$\begin{eqnarray*} Ax = (M-N)x = (M-N)*(Tx+c) \end{eqnarray*}$ ?

15.05.2016, 14:30

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} Ax=(M-N)x=M(I-M^{-1}N)x=... \end{eqnarray*}$

15.05.2016, 14:42

Oggel

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} = M * (I - T) x \end{eqnarray*}$ ? und wie wäre der nächste Schritt?

15.05.2016, 14:48

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

Du darfst schon gerne mal selber probieren unglücklich

unglücklich

Irgendwann muss ja die Voraussetzung ins Spiel kommen.

15.05.2016, 14:50

Oggel

Auf diesen Beitrag antworten »

Voraussetzung ist: F(x) = x? Darf ich das schon benutzen?

15.05.2016, 14:54

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja

15.05.2016, 15:11

Oggel

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry aber ich bekomme nichts vernünftiges raus. bzw was sollte ich am Ende rausbekommen?

Habe jetzt folgende Gleichung:
$\begin{eqnarray*} M * (I-M^{-1} * N)*T*x+c = M*(I-M^{-1}*N)*(M^{-1}*N)x + (M^{-1}b) \end{eqnarray*}$

15.05.2016, 15:56

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast angefangen mit Ax= also soll am Ende =x herauskommen, oder?

Wenn schon dann
$\begin{eqnarray*} M * (I-M^{-1} * N)*\textcolor{red}(T*x+c\textcolor{red}) = M*(I-M^{-1}*N)*(M^{-1}*N)x + (M^{-1}b) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Ax=(M-N)x=M(I-M^{-1}N)x=M(x-Tx)=M(x-Fx+c)=... \end{eqnarray*}$

15.05.2016, 17:03

Oggel

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube du meinst es soll b rauskommen oder?
Wen ich deine Gleichung fortführe:
$\begin{eqnarray*} M*(x-F(x)+c) = M*c = M*M^{-1} * b = b \end{eqnarray*}$

Ich gaube jetzt habe ichs oder?

15.05.2016, 17:44

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

Freude

Sorry für meinen zweiten Schnitzer heute Forum Kloppe

Forum Kloppe

15.05.2016, 19:13

Oggel

Auf diesen Beitrag antworten »

Kein Problem. Ich bin überhaupt froh, dass Ihr hier so hilfsbereit seid smile

smile

Aber nochmal zu (2a) da komme ich noch nicht so ganz weiter. Kannst du mir noch einen kleinen Anstupser geben? Ich habe ja die Gleichung, weiß aber nicht so genau wie ich das mit der Spektralnorm beweisen soll. Die Spektralnorm der Matrix T ist doch im Endeffekt eine reelle Zahl die laut Aufgabenstellung kleiner 1 sein muss.

Edit: Kann man das ohne den Banachen Fixpunktsatz machen? Den hatten wir bis jetzt noch nicht.

15.05.2016, 19:41

Oggel

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry für den Doppelpost:

Habe noch mal ein bisschen recherchiert um das mit dem Fixpunktsatz zu machen, würde das so funktionieren?

$\begin{eqnarray*} || F(x_{n}) - F(y_{n})|| = ||T*(x_{n} -y_{n})|| <= ||T|| * ||x_{n} - y_{n} || \end{eqnarray*}$

und das ist ja nur für $\begin{eqnarray*} ||T|| < 1 \end{eqnarray*}$ erfüllt ?

16.05.2016, 00:12

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

Für beliebige $\begin{eqnarray*} x,y\in\mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \|F(x)-F(y)\|=\|T(x-y)\|\leq \|T\|\,\|x-y\| \end{eqnarray*}$ . Das gilt für jede Matrixnorm, also insbesondere für die Spektralnorm. Hier gilt mit der Voraussetzung dann sogar $\begin{eqnarray*} \|F(x)-F(y)\| < \|x-y\| \end{eqnarray*}$ . Damit ist F eine Kontraktion und der Banachsche Fixpunktsatz erledigt den Rest.
Wenn man den nicht kennt, zeigt man, dass die Folge $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ eine Cauchyfolge und damit konvergent ist. Dabei helfen Dreiecksungleichung und geometrische Summe - und da kommt wieder $\begin{eqnarray*} \|T\|<1 \end{eqnarray*}$ ins Spiel.

16.05.2016, 19:02

Oggel

Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar. Danke smile

smile

ich werde mich nochmal dran versuchen.

Jetzt fehlt mir nur noch (2b) Wie würde man in diesem Fall die Divergenz beweisen?

16.05.2016, 21:13

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

In der Aufgabe steht doch schon, was zu zeigen sollst

16.05.2016, 21:37

Oggel

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm ja ich wusste nicht richtig wie ich anfangen soll. Nach ein wenig Recherche habe ich was gefunden, dort wird der Beweis mit $\begin{eqnarray*} x_{k} - x \end{eqnarray*}$ (Auf dem x soll eigentlich ein Dach sein, wusste aber nicht wie ich das darstellen soll) angefangen, für beliebiges $\begin{eqnarray*} k>=1 \end{eqnarray*}$ . Sodass man am Ende zu $\begin{eqnarray*} \lambda^{k} * x (mit Dach) \end{eqnarray*}$ kommt.

Ich verstehe aber nicht ganz wieso man mit $\begin{eqnarray*} x_{k} - x \end{eqnarray*}$ anfängt? Was bedeutet dieser Ausdruck? Man zieht hier ja den Grenzwert der Folge von einem beliebigen Folgenglied ab oder?

16.05.2016, 21:48

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

Dieser Weg hat nichts mit dem zu tun, was in der Aufgabe vorgeschlagen wurde.

Was ist die Motivation, diesen Weg zu nehmen? Nimm mal an, die Folge $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ würde konvergieren. Was wäre dann ihr Grenzwert? Was müsste dann für den Abstand zwischen Grenzwert und den Folgengliedern gelten?

16.05.2016, 21:56

Oggel

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man annimmt, dass es einen Grenzwert gibt, würde der Abstand von dem Folgengliedern zum Grenzwert gegen 0 laufen würde ich sagen.
Und der Grenzwert wäre x(Dach). Kann man so ein x irgendwie in Latex darstellen?

16.05.2016, 22:40

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Deshalb schaut man sich die Differenz $\begin{eqnarray*} x_k-\hat x \end{eqnarray*}$ an und zeigt, dass sie eben nicht gegen Null geht.

17.05.2016, 09:49

Oggel

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber wäre das dann nicht der richtige Ansatz?:
$\begin{eqnarray*} x_{k} - \hat{x} = T^{k}*(x_{0} - \hat{x}) = T^{k}*x_{\lambda} = \lambda^{k}*x_{\lambda} \end{eqnarray*}$

17.05.2016, 18:49

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

du solltest aber noch begründen, wie du von F zu T kommst.

17.05.2016, 19:31

Oggel

Auf diesen Beitrag antworten »

Verstehe nicht so ganz was du meinst sorry unglücklich

unglücklich

17.05.2016, 19:44

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

Nach Definition ist doch $\begin{eqnarray*} x_k=F(x_{k-1}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F(\hat x )=\hat x \end{eqnarray*}$ .
Bei dir steht überall T

17.05.2016, 19:51

Oggel

Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst du so?
$\begin{eqnarray*} x_{k} - \hat{x} = T * x_{k-1} + c = T * x_{k-1} - T*\hat{x} = T * (x_{k-1} - \hat{x}) = T^{k}*(x_{0}-\hat{x}) = ... \end{eqnarray*}$

17.05.2016, 19:55

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

das erste Gleichheitszeichen ist vermurkst, aber sonst ok

17.05.2016, 20:11

Oggel

Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar und als Begründung am Ende:
$\begin{eqnarray*} ||\lambda^{k}*x_{\lambda} || = |\lambda|^{k} * ||x_{\lambda}|| \geq ||x_{\lambda}|| > 0 \end{eqnarray*}$

Daher kann $\begin{eqnarray*} x_{k} \end{eqnarray*}$ nicht konvergieren für k gegen unendlich.

Geht das so?

17.05.2016, 20:12

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

Freude

17.05.2016, 20:13

Oggel

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Danke Danke smile

smile

Hast mir sehr geholfen!

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »