Kleinste ganzzahlige Lösung für lin. Gleichungssystem (Chemische Reaktionsgleichung)

14.05.2016, 22:08

te one

Kleinste ganzzahlige Lösung für lin. Gleichungssystem (Chemische Reaktionsgleichung)

Hallo,

nach stundenlanger Rechnerei hoffe ich auf den entscheidenden Tipp von euch.
Gesucht sind die kleinsten natürlichen Zahlen, die eine gegebene lin. Gleichung lösen.

Aktueller Stand: Habe die folgende Lösungsmenge bestimmt:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{5}{3} \\ 4 \\ \frac{4}{3} \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + < \begin{pmatrix} \frac{-46}{3} = -15\frac{1}{3} \\ -38 \\ \frac{-38}{3} = -10\frac{2}{3} \\ -22 \\ 1 \end{pmatrix} > \end{eqnarray*}$
Um eine konkrete Lösung zu erhalten kann ich mir ja jetzt einen beliebigen Vorfaktor für den erzeugenden Vektor überlegen. Aber: Er muss ungleich 0 sein, damit ich in Zeile 1 und 3 die Brüche wegbekomme. Er muss natürlich sein, damit Zeile 4 wieder natürlich wird. Eigentlich aber auch negativ, damit ich in Zeilen 1-3 nicht im Negativen lande --> für mich ist keine Lösung erkennbar böse

Zitat:

[Anhang - die eigentliche Aufgabe, vielleicht verstehe ich die Aufgabe ja falsch]
Stellen Sie zu folgender chemischen Reaktion ein passendes lineares Gleichungssystem auf und bestimmen Sie die kleinsten Werte für die natürlichen Zahlen $\begin{eqnarray*} \alpha,\beta,\gamma,\delta,\epsilon \end{eqnarray*}$ . Welche Annahmen über die Reaktion machen sie dabei?
$\begin{eqnarray*} \alpha H_{8}C_{6}O_{7} + \beta CaCO_{3} \rightarrow \gamma Ca_{3}(H_{5}C_{6}O_{7})_{2} + \delta CO_{2} + \epsilon H_{2}O \end{eqnarray*}$

Ergab bei mir folgende Matrix aus der ich dann obige Lösungsmenge bestimmt habe:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 8 & 0 & -10 & 0 & -2 & | 0 & (fuer H)\\ 6 & 1 & -12 & 1 & 0 & | 0 & (fuer C)\\ 7 & 3 & -14 & -2 & 0 & | 1 & (fuer O)\\ 0 & 1 & -3 & 0 & 0 & | 0 & (fuer Ca) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wo liegt denn da der Hund begraben? verwirrt

Danke schonmal Wink

14.05.2016, 22:23

mYthos

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Mal von der Chemie her:
Weshalb steht in der 2. Zeile, 4. Spalte +1 anstatt -1 für C
Weshalb steht in der 3. Zeile, 5. Spalte 0 anstatt -1, beim Wasser ist doch auch noch ein O-Atom
Und rechts müssen doch alle 0 sein, weil alle Verbindungen nach links gebracht wurden (?)

14.05.2016, 22:33

te one

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Das erste war nur ein Fehler beim Abtippen. Beim Zweiten hast du recht - hatte das Epsylon als Faktor vor dem O des Wassers vergessen... Dann kommt auch 0 raus smile

Ergibt also:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 8 & 0 & -10 & 0 & -2 & | 0 & (fuer H)\\ 6 & 1 & -12 & -1 & 0 & | 0 & (fuer C)\\ 7 & 3 & -14 & -2 & 1 & | 0 & (fuer O)\\ 0 & 1 & -3 & 0 & 0 & | 0 & (fuer Ca) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
mit Lösungsmenge:
$\begin{eqnarray*} < \begin{pmatrix} \frac{8}{27} \\ \frac{1}{9} \\ \frac{1}{27} \\ \frac{13}{9} \\ 1 \end{pmatrix} > \end{eqnarray*}$
Schreit nach Faktor 27 als Lösung smile

Vielen Dank!

14.05.2016, 22:44

mYthos

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Nö, stimmt noch immer nicht, was ist in der 3. Zeile, 5. Spalte, dort gehört -1 hin
Damit ist es einfacher:

Anstatt der griechischen Buchstaben habe ich a,b,c,d,e geschrieben.

Dann kommt a = 2e/3 und c = e/3, b = d = e, also gilt der Faktor 3
-->
a = 2, b = 3, c = 1, d = 3, e = 3

wenn ich mich nicht verrechnet habe.

mY+

14.05.2016, 23:01

te one

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Wochenende gerettet

Vielen Dank für die schnelle Hilfe. Möge die Mathematik mit dir sein!

14.05.2016, 23:06

mYthos

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Fein!

Dir auch schöne Pfingsten!

Grüße
mY+

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