Beweis zu Äquivalenzklasse und Frage zu einem Beispiel

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MauraFawn Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis zu Äquivalenzklasse und Frage zu einem Beispiel
Hallo,

ich versuche mir gerade das 1. Semester Lineare Algebra (und HM1) für Informatik selbst beizubringen. Zur Verfügung habe ich das offizielle Skript sowie eines der Lehrbücher, die von einem anderen Dozenten des Lehrstuhls geschrieben wurde.

Hintergrundwissen klappt so ganz gut, nur komme ich mit manchen Beispielen und vor allem Beweisen nicht so ganz klar...

Erst mal kurz zur Frage zum Beispiel:
gegeben ist eine Relation und
Darunter ist die Punktmenge der Relation abgebildet. Untertitel lautet: "Die im Bild xy veranschaulichte Punktmenge stellt eine Äquivalenzrelation auf der Menge M dar, wie man durch Nachweis der Reflexivität, der Symmetrie und der Transivität zeigen kann."

Abgebildet sind die Punkte in (1/1), (2/2), (3/3), (4/4), (5/5), (1/4), (2/5), (4/1) sowie (5/2).

Woher weiß ich denn, dass denn genau diese Punkte zu R gehören? Ich konnte mit R nämlich nichts anfangen, bevor ich mir die Punktmenge angeschaut hatte. Der Nachweis der Punktemenge steht auch drunter, und der ist mir dann durchaus klar, aber ich verstehe nicht, warum eben nur die oben genannten Punkte zu der Relation gehören... Ist das Beispiel vielleicht einfach nur nicht gut beschrieben?


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Dann habe ich noch eine Frage zu einem Satz im Skript:
Es sei f: M -> N eine Abbildung. Dann wird durch eine Äquivalenzrelation auf M definiert, und die Äquivalenzklasse von x ist .

Der Beweis hierzu soll als Übungsaufgabe dienen.


Leider habe ich überhaupt keine Ahnung, wie man so einen Beweis durchführt. Ich verstehe zwar, wie es funktioniert, wenn ich es sehe, aber selbst drauf komme ich nie :-( Es gibt auch keine Lösung dazu oder Hinweise, wie man da rangehen soll.


Ich hoffe, ihr könnt mir helfen!
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Es spricht für dein Selbstbewusstsein, dass du glaubst, du könntest Mathematik autodidaktisch verstehen. Ich glaube das nicht.
MauraFawn Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ja... Jetzt weiß ich wieder, warum ich mich hier schonmal früher wieder abgemeldet habe...

Dennoch... ich fände es schön, wenn du mir bezüglich meiner Frage eine Antwort geben könntest und nicht dazu, was du bzgl. meiner mathematischen Fähigkeiten glaubst oder nicht. Aller Anfang ist schwer, oder?



Für jemanden, der noch nie einen Beweis selbst hat durchführen müssen, ist das halt nun mal nicht ganz so einfach, ungeachtet dessen, ob in Eigenregie oder nicht. Mir steht das gleiche Material wie denen zur Verfügung, die diese Vorlesung hören und auch da hab ich schon angefragt. Entweder hat ihn keiner gemacht oder noch niemand hat eine Lösung dafür gefunden. Ich vermute ersteres, da es nicht obligatorisch ist.
Ich für mich würde es aber gerne verstehen.

Danke.
Shalec Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,

zunächst solltest du nochmal nachschauen, was für eine Ordnungsrelation gilt. Die drei Bestandteile der Definition wurden in dem Untertitel mit einem Namen versehen. :-)

Nun zu dem Teil .
Eine Ordnungsrelation R kann man sich im Spezialfall als vorstellen. Aber sobald die Dimension größer wird, ist es vorbei. Z.B. kannst du solch eine Relation nicht auf den komplexen Zahlen definieren. Dieser wiederrum lassen sich als interpretieren.

R ist zunächst nicht weiter definiert (du könntest mal das Buch nennen, falls es irgendwo online einsehbar sein sollte oder von Springer veröffentlicht wird, oder ein Foto des Beispiels anhängen). R kann eine beliebige Menge von Kombinationen aus sein. Der Skriptführer hat hier einfach eine beliebige Menge konstruiert, von der er weiß, dass diese eine Relation bildet. (Ich finde es hier fragwürdig von Relation als Menge zu sprechen.. tatsächlich wird durch eine Relation eine Art Vergleichskritierium von Elementen eingeführt.)

Ich habe jetzt grad leider keine Zeit mehr, werde aber später nochmal reinschauen.

Viele grüße und viel Erfolg Wink
MauraFawn Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Shalec,

das Buch heißt "Mathematik für Wirtschaftsingenieure und für naturwissenschaftliche Studiengänge", Band 2, 2. Auflage. Autoren sind Norbert Henze und Günter Last und ist im vieweg-Verlag erschienen.

Es gab mal einen Online-Service zum buch, aber seitdem sich die Webadresse geändert hat, kann man da natürlich nicht mehr zugreifen und weitergeleitet wird man auch nicht...


Dass die Relation eine Äquivalenzrelation ist, steht ja schon in meinem Ausgangspost. Auch ist klar, wie sie definiert ist: reflexiv, transitiv und symmetrisch.
Das ist auch nicht das Problem. Warum dies für eben die dargestellte Punktmenge gilt ist ersichtlich und warum sich welche Klassen ergeben ist auch klar.

Nur eben nicht: wo kommt denn diese Punktmenge her? Warum wurde ausgerechnet bspw. (1/4) und (4/1) gewählt und nicht (2/3) und (3/2)? Ist das, so wie du angedeutet hast, einfach als abgespecktes Beispiel ohne alle Möglichkeiten zu erwähnen, angenommen worden?


Es kam auch schon bei anderen die Frage auf, was denn zuerst da war: die Menge M = {1,2,3,4,5} oder die Punktmenge, aus der man dann die Menge und die Klassen schließen musste verwirrt


Ich kann das Beispiel später noch genau abfotografieren bzw. abtippen, wenn du es brauchst.

Danke für deine Hilfe!
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Relation R auf einer Menge M ist eine Teilmenge des cartesischen Produkts MxM. Es gibt also auf jeder nichtleeren Menge M mehr als eine Relation. Darunter gibt es dann Äquivalenzrelationen und Ordnungsrelationen, das sind die Relationen, für die die definierenden Eigenschaften gelten. Sie sind besonders wichtig, weil man darüber mehr sagen kann als über Relationen im allgemeinen. Ein Beispiel ist ein Beispiel, sonst nichts.

Es tut mir leid, dass ich mich undeutlich ausgedrückt habe. Ich zweifle nicht an deinen Fähigkeiten. Ich bezweifle, dass irgend jemand Lineare Algebra autodidaktisch lernen kann. Der Anfang, die Mitte, das Ende, Mathematik ist immer schwer.
 
 
Shalec Auf diesen Beitrag antworten »

@Elvis
Da ich damals mit meinem LinA Prof nicht zurecht kam (er Sprach so undeutlich, war sehr schnell und hat alles so laps dargestellt) habe ich mich zunächst mit dem Buch von Jänich beschäftigt. Merkte dann aber schnell, dass das nicht so das wahre Buch für eine LinA Vorlesung ist und kaufte mir dann noch das Buch von Bosch und Beutelspacher. Insgesamt kann ich sagen: Ich habe mir LinA Autodidaktisch selber beigebracht. Da ich damit so lange nichts machen musste (studienbedingt lag der Schwerpunkt wohl mehr in der Analysis. Meine Vertiefung liegt in der Kryptologie, muss nun aber eine Menge Algebra nachholen für die Zahlentheorie) habe ich vieles vergessen. Es klappt also durchaus ^^
Die Betrachtung, dass eine Relation eine Teilmenge von MxM sei, ist mir bislang unbekannt. Macht aber irgendwie Sinn...


@MauraFawn
ich vermute, dass diese Punkte einfach als Beispiel vorgegeben wurden und sollen nicht >>die<< Relation darstellen, sondern nur >>eine<<, ein Beispiel eben, von so vielen möglich.

Viele Grüße
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