Divergenz eines Vektorfeldes

15.05.2016, 12:33

MarkusHettmann1994

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Divergenz eines Vektorfeldes

Meine Frage:
Hallo,
ich muss für die FH folgende Aufgabe lösen:

Zeigen Sie, dass das Vektorfeld v = $\begin{eqnarray*} \frac{\begin{pmatrix} -x \\ -y \end{pmatrix}}{\sqrt{x^{2} + y^{2} } } \end{eqnarray*}$ ein Senkenfeld ist.
Zeichnen und interpretieren sie physikalisch!

Danke schonmal für eure Hilfe

Meine Ideen:
Das Feld besteht ja aus einem Vektor dividiert durch seinen Betrag, also quasi dem Einheitsvektor. Nur mir fehlt der Ansatz, wie ich anfangen soll, da ich nicht denke, dass ich davon nun so direkt den Nabla bilden soll/kann.

15.05.2016, 13:01

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RE: Divergenz eines Vektorfeldes
Anschaulich ist die Sache klar. Wegen des Vorzeichens ist das Feld zum Ursprung gerichtet.
Was meinst du mit "den Nabla bilden" ?

15.05.2016, 13:11

MarkusHettmann1994

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Ich hätte jetzt die Divergenz berechnet und dadurch gezeigt, dass es ein Senkenfeld ist. Also grad(v)* v.

15.05.2016, 13:23

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Ich bin mir nicht sicher, ob du mit grad(v)* v das richtige meinst. Aber rechne mal los, dann sehen wir schon, wohin das führt.

15.05.2016, 13:42

MarkusHettmann1994

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Das ist ja das Problem.
Ich bräuchte einen Zweidimensionalen Vektor dafür und keinen Vektor durch irgendwine Wurzel.

15.05.2016, 13:49

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$\begin{eqnarray*} \frac{\begin{pmatrix} -x \\ -y \end{pmatrix}}{\sqrt{x^{2} + y^{2} } } = \begin{pmatrix} -x/\sqrt{x^{2} + y^{2} } \\ -y/\sqrt{x^{2} + y^{2} } \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
voila, ein zweidimensionaler Vektor (das war es übrigens auch schon vorher)

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15.05.2016, 22:17

MarkusHettmann1994

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Hmm,
ich stehe auf dem Schlauch.
Wie leite ich das denn ab, um den Gradienten zu bilden..?

15.05.2016, 23:55

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Den Gradienten kannst du gar nicht bilden, den gibt es nur für skalare Felder. Gesucht ist die Divergenz.

16.05.2016, 09:10

MarkusHettmann1994

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Die Dibergenz berechnet sich aber doch durch den Gradienten.

16.05.2016, 09:56

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Aber nein. Beide lassen sich formal unter Verwendung des Nabla-Operators schreiben. Deshalb fragte ich eingangs schon: Was meinst du mit "den Nabla bilden" ? Den Nabla-Operator muss man nicht mehr bilden, er ist schon definiert $\begin{eqnarray*} \nabla=(\frac{\partial}{\partial x_1},\ldots, \frac{\partial}{\partial x_n})^T \end{eqnarray*}$ .

Durch ein formales Produkt kann man damit den Gradienten einer skalaren Funktion f aufschreiben $\begin{eqnarray*} grad(f)=\begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x_1}\\\vdots\\\frac{\partial f}{\partial x_n}\end{pmatrix}= \nabla f \end{eqnarray*}$

Durch ein formales Skalarprodukt kann man damit die Divergenz eines Vektorfeldes $\begin{eqnarray*} v=\begin{pmatrix} v_1\\\vdots\\v_n\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ aufschreiben $\begin{eqnarray*} div(v)=\sum_{i=1}^n \frac{\partial v_i}{\partial x_i}= \nabla \cdot v \end{eqnarray*}$

16.05.2016, 14:10

MarkusHettmann1994

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Zitat:

Original von URL
Aber nein. Beide lassen sich formal unter Verwendung des Nabla-Operators schreiben. Deshalb fragte ich eingangs schon: Was meinst du mit "den Nabla bilden" ? Den Nabla-Operator muss man nicht mehr bilden, er ist schon definiert $\begin{eqnarray*} \nabla=(\frac{\partial}{\partial x_1},\ldots, \frac{\partial}{\partial x_n})^T \end{eqnarray*}$ .

Durch ein formales Produkt kann man damit den Gradienten einer skalaren Funktion f aufschreiben $\begin{eqnarray*} grad(f)=\begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x_1}\\\vdots\\\frac{\partial f}{\partial x_n}\end{pmatrix}= \nabla f \end{eqnarray*}$

Durch ein formales Skalarprodukt kann man damit die Divergenz eines Vektorfeldes $\begin{eqnarray*} v=\begin{pmatrix} v_1\\\vdots\\v_n\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ aufschreiben $\begin{eqnarray*} div(v)=\sum_{i=1}^n \frac{\partial v_i}{\partial x_i}= \nabla \cdot v \end{eqnarray*}$

Oder anders ausgedrückt: Die Divergenz berechnez man mit dem Gradienten. Aber mein Problem ist ihn zu bilden, wegen der Wurzel.

16.05.2016, 14:12

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Der Gradient eines Vektorfeldes ist schlichtweg nicht definiert.
Aber wenn du meinst.... unglücklich

unglücklich

16.05.2016, 16:33

MarkusHettmann1994

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Hmm. Wir haben aber es aber nie anders gelernt. Wie wäre denn dein Ansatz zum lösen der Aufgabe?

16.05.2016, 21:21

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Ich würde die Definition verwenden, die ich dir auch schon aufgeschrieben habe: $\begin{eqnarray*} div(v)=\sum_{i=1}^n \frac{\partial v_i}{\partial x_i} \end{eqnarray*}$
Also die erste Komponente von v nach der ersten Variablen ableiten, die zweite Komponente von v nach der zweiten und so weiter, dann die Summe bilden und fertig (bis auch Vereinfachung, aber das ergibt sich dann ggf.).

Damit es hier mal in die richtige Richtung geht, gebe ich dir den ersten Summanden, sprich Ableitung der ersten Komponente von v nach der ersten Variablen:
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{-x}{\sqrt{x^{2} + y^{2} }}\right) \end{eqnarray*}$
Den zweiten Summanden darfst du selbst aufstellen und die Ableitungen berechnen.

16.05.2016, 23:47

MarkusHettmann1994

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Wir haben den ganzen Tag aneinander vorbei gesprochen. Genau so hatte ich das auch vor aber ich bereits geschrieben hatte scheiter ich am ableiten der Wurzel.

17.05.2016, 00:00

yellowman

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Hallo, die Divergenz ist definiert mit $\begin{eqnarray*} div V=\langle\nabla, V\rangle=\langle (\partial/\partial x,\partial/\partial y)^T,(V_x,V_y)^T\rangle \end{eqnarray*}$

Wenn $\begin{eqnarray*} divV>0 \end{eqnarray*}$ liegt ein Quellenfeld vor
Wenn $\begin{eqnarray*} divV<0 \end{eqnarray*}$ liegt ein Senkenfeld vor

Dein Vorgehen ist also, du berechnest das Skalarprodukt und bildest die Ableitungen und untersuchst anhand der beiden Kriterien weiter oben aufgelistet um welches Feld es sich handelt.

Viele Grüße

17.05.2016, 08:45

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$\begin{eqnarray*} \sqrt{t}=t^{1/2} \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dt}\sqrt{t}=\frac 1 2 t^{-1/2}=\frac{1}{ 2\sqrt{t}} \end{eqnarray*}$ .
Der Rest ist Quotienten- und Kettenregel. Oder was genau ist jetzt das Problem?

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