Matrixdarstellung von Orthogonalprojektionen

15.05.2016, 15:20

Xyarvius

Matrixdarstellung von Orthogonalprojektionen

Meine Frage:
Hallo, ich habe hier eine interessante Aufgabe (Siehe Anhang).

Meine Ideen:
Ich bin noch unsicher, wie ich am Besten anfange. Ich habe die Projektion P auf eine Gerade, aber was wird genau projiziert? Alle Vektoren im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ auf die Gerade?

Wenn ich für das Finden der Matrixdarstellung nun beispielsweise zwei l.u. Vektoren hätte, würde ich wohl vorerst mittels des Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren eine Orthonormalbasis finden. Aber das scheint hier nicht zu funktionieren.

Ich bin ziemlich verwirrt. Habt ihr Hinweise?

15.05.2016, 16:20

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RE: Matrixdarstellung von Orthogonalprojektionen
Eine orthogonale Projektion ist immer ein Endomorphismus, hier von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ in sich. Also ja, jeder Vektor aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ wird senkrecht auf die Gerade projiziert.

Für die Ermittlung der darstellenden Matrix brauchst du eine Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ . Da gibt es natürlich beliebig viele Möglichkeiten, z.B. die Standardbasis (1,0) und (0,1). Es muss übrigens keine Orthonormalbasis sein.
Hier ist es günstig, sich zu überlegen, was mit einem Vektor passiert, der auf der Geraden liegt, bzw. einem, der dazu senkrecht steht. Auf diese Art bekommt man eine Basis, die der Aufgabenstellung angepasst ist (ja, das darf man natürlich machen!) und die Matrix wird sehr einfach,

15.05.2016, 18:20

Xyarvius

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RE: Matrixdarstellung von Orthogonalprojektionen
Hm, wenn ein Vektor auf der Geraden liegt, dann sind doch die Projektion und der Vektor identisch und wenn der Vektor senkrecht auf der Geraden steht, hat die Projektion ja die Länge 0, also wäre das dann der Nullvektor?

Nun weiß ich noch nicht so recht, welche Basis ich daraus folgernd am besten wähle und wie ich daraus dann die Matrixdarstellung erhalte.

Ich habe etwas Interessantes bei Wikipedia zum Thema Matrixdarstellung bei Orthogonalprojektionen gefunden:

Zitat:

Wählt man für den Vektorraum $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ eine Orthonormalbasis $\begin{eqnarray*} \left\{ e_1,...e_n\right\} \end{eqnarray*}$ bezüglich des Skalarprodukts $\begin{eqnarray*} <.,.> \end{eqnarray*}$ dann kann jeder Vektor $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ als Koordinatenvektor $\begin{eqnarray*} x = (x_1, \ldots , x_n)^T \in {\mathbb K}^n \end{eqnarray*}$ über
$\begin{eqnarray*} v=\sum\limits_{i=1}^{n} x_i e_i \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_i = < v, e_i > \end{eqnarray*}$
dargestellt werden.

Das klingt erstmal gar nicht so schlecht, auch wenn ich mir noch nicht sicher bin, wie ich das genau anwende, falls ich das hier überhaupt anwenden kann. verwirrt

15.05.2016, 18:37

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RE: Matrixdarstellung von Orthogonalprojektionen

Zitat:

Hm, wenn ein Vektor auf der Geraden liegt, dann sind doch die Projektion und der Vektor identisch und wenn der Vektor senkrecht auf der Geraden steht, hat die Projektion ja die Länge 0, also wäre das dann der Nullvektor?

Das ist richtig. Dann würde es sich doch anbieten, eine Basis zu wählen, bei der ein Vektor auf der Geraden liegt und einer dazu senkrecht ist.
Damit ist dann unmittelbar klar, was die Bilder dieser Vektoren unter der orthogonalen Projektion sind und daraus folgt dann nach den üblichen Regeln sofort die Matrixdarstellung.
Edit: Interessanter ist im wikipedia-Artikel der darauf folgende Abschnitt "Darstellung"

15.05.2016, 19:47

Xyarvius

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RE: Matrixdarstellung von Orthogonalprojektionen
Ah, ja, das leuchtet mir ein smile

Also wähle ich den Vektor mit $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=2x=2 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} a = \begin{pmatrix} 1 \\ 2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und den dazu orthogonalen Vektor $\begin{eqnarray*} b = \begin{pmatrix} -2 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ (da $\begin{eqnarray*} a_x b_x + a_y b_y =0 \end{eqnarray*}$ sein muss) als Basis (ggf. noch zeigen dass diese l.u. sind?).

Nach Wikipedia gilt dann:

Zitat:

Eine Orthogonalprojektion ist in Koordinatendarstellung damit einfach ein Matrix-Vektor-Produkt $\begin{eqnarray*} Q_U x \end{eqnarray*}$ mit der Abbildungsmatrix $\begin{eqnarray*} Q_U \in {\mathbb K}^{n \times n} \end{eqnarray*}$ gegeben durch

$\begin{eqnarray*} Q_U = \sum_{i=1}^k \frac{ y_i y_i^H }{ y_i^H y_i } \end{eqnarray*}$ .

Die Abbildungsmatrix wäre doch dann gegeben durch:
$\begin{eqnarray*} f(a) = f(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} ) = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(b) = f(\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} ) = \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ woraus dann die Abbildungsmatrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ folgt?

Ich verstehe noch nicht was der Vektor x ist:

Zitat:

...und x der Koordinatenvektor eines zu projizierenden Vektors v ...

16.05.2016, 00:21

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RE: Matrixdarstellung von Orthogonalprojektionen
Zwei von Null verschiedene, orthogonale Vektoren sind immer linear unabhängig. Das ist mit dem Skalarprodukt auch schnell gezeigt.

Was machst du denn da?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f(a) = f(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} ) = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(b) = f(\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} ) = \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wir waren uns doch einig, das ein Vektor auf der Geraden, also a, auf sich abgebildet wird. Und ein zur Geraden senkrechter Vektor, also b, wird auf den Nullvektor abgebildet.
Also ist $\begin{eqnarray*} f(a)=a=\textcolor{blue}1 a +\textcolor{blue} 0 b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(b)=0=\textcolor{green} 0 a +\textcolor{green} 0 b \end{eqnarray*}$ und damit ist die Darstellungsmatrix bzgl. dieser Basis $\begin{eqnarray*} M=\begin{pmatrix}\textcolor{blue}1 & \textcolor{green}0 \\ \textcolor{blue} 0 & \textcolor{green} 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

16.05.2016, 12:11

Xyarvius

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Urgh, ja natürlich, wie komme ich auf so einen Quatsch Hammer

Gut, weiter im Text. Die Idem-Potenz ist ja leicht gezeigt indem ich zeige, dass $\begin{eqnarray*} M^2 = M \end{eqnarray*}$ ist.

Dann kann ich für Aufgabenteil 2 ja ähnlich Verfahren.
Ich wähle mir den Vektor $\begin{eqnarray*} a=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ (da $\begin{eqnarray*} z=2x+y \end{eqnarray*}$ ) der in der Ebene liegt. Jetzt bestimme ich mittels Skalarprodukt einen zweiten Vektor $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ der orthogonal zu $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist wobei dieser auch in der Ebene liegen soll, daher wähle ich $\begin{eqnarray*} b_3 = 2*b_1+b_2 \end{eqnarray*}$ . Also:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ 2b_s+b_1 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$ .
Ich wähle $\begin{eqnarray*} b_1=4 \end{eqnarray*}$ und komme dann nach umstellen und einsetzen auf $\begin{eqnarray*} b=\begin{pmatrix} 4 \\ -7 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , also auf den Vektor, der in der Ebene liegt und orthogonal zu $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist.
Mittels des Kreuzproduktes erhalte ich dann den Vektor $\begin{eqnarray*} c=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ der orthogonal zu $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ist und somit senkrecht auf der Ebene steht.
Damit bilden $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ meine Basis (l.u. ist damit wie bei Aufgabenteil 1 offensichtlich).
Dann gilt:
$\begin{eqnarray*} f(a) = a = 1a+0b+0c<br /> f(b) = b = 0a+1b+0c<br /> f(c) = 0 = 0a+0b+0c \end{eqnarray*}$
und daraus die Darstellungsmatrix $\begin{eqnarray*} N = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ bzgl. der Basis, bei der die Idem-Potenz wieder schnell gezeigt ist.
Richtig?

16.05.2016, 12:29

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yep

Wobei du einen Normalenvektor der Ebene auch direkt aus $\begin{eqnarray*} 0=2x+y-z \end{eqnarray*}$ abelesen kannst (Hesse Normalform lässt grßen)

16.05.2016, 12:38

Xyarvius

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Ah, super, sehr gut zu wissen smile

Vielen Dank für die Hilfe.
Ach ja, rein aus Neugier: Könnte man bei der Aufgabe auch mit den Orthonormalbasen der Bildmengen arbeiten, und wenn ja, wie würde das ganz grob aussehen?

16.05.2016, 12:55

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Ich halte mich an die Notation hier
Der Koordinatenvektoren einer Orthonormalbasis der Geraden aus dem ersten Beispiel bzgl. der Standardbasis des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} y_1=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Dann ist $\begin{eqnarray*} y_1y_1^H=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}1 & 2\end{pmatrix}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
die Darstellungsmatrix der Projektion bzgl. der Standardbasis des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$

16.05.2016, 13:59

Xyarvius

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Ah ja, das ist ja mal interessant. Vielen Dank! smile

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