Matrixdarstellung von Orthogonalprojektionen |
15.05.2016, 15:20 | Xyarvius | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Matrixdarstellung von Orthogonalprojektionen Hallo, ich habe hier eine interessante Aufgabe (Siehe Anhang). Meine Ideen: Ich bin noch unsicher, wie ich am Besten anfange. Ich habe die Projektion P auf eine Gerade, aber was wird genau projiziert? Alle Vektoren im auf die Gerade? Wenn ich für das Finden der Matrixdarstellung nun beispielsweise zwei l.u. Vektoren hätte, würde ich wohl vorerst mittels des Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren eine Orthonormalbasis finden. Aber das scheint hier nicht zu funktionieren. Ich bin ziemlich verwirrt. Habt ihr Hinweise? |
||||||
15.05.2016, 16:20 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Matrixdarstellung von Orthogonalprojektionen Eine orthogonale Projektion ist immer ein Endomorphismus, hier von in sich. Also ja, jeder Vektor aus wird senkrecht auf die Gerade projiziert. Für die Ermittlung der darstellenden Matrix brauchst du eine Basis des . Da gibt es natürlich beliebig viele Möglichkeiten, z.B. die Standardbasis (1,0) und (0,1). Es muss übrigens keine Orthonormalbasis sein. Hier ist es günstig, sich zu überlegen, was mit einem Vektor passiert, der auf der Geraden liegt, bzw. einem, der dazu senkrecht steht. Auf diese Art bekommt man eine Basis, die der Aufgabenstellung angepasst ist (ja, das darf man natürlich machen!) und die Matrix wird sehr einfach, |
||||||
15.05.2016, 18:20 | Xyarvius | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Matrixdarstellung von Orthogonalprojektionen Hm, wenn ein Vektor auf der Geraden liegt, dann sind doch die Projektion und der Vektor identisch und wenn der Vektor senkrecht auf der Geraden steht, hat die Projektion ja die Länge 0, also wäre das dann der Nullvektor? Nun weiß ich noch nicht so recht, welche Basis ich daraus folgernd am besten wähle und wie ich daraus dann die Matrixdarstellung erhalte. Ich habe etwas Interessantes bei Wikipedia zum Thema Matrixdarstellung bei Orthogonalprojektionen gefunden:
Das klingt erstmal gar nicht so schlecht, auch wenn ich mir noch nicht sicher bin, wie ich das genau anwende, falls ich das hier überhaupt anwenden kann. |
||||||
15.05.2016, 18:37 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Matrixdarstellung von Orthogonalprojektionen
Das ist richtig. Dann würde es sich doch anbieten, eine Basis zu wählen, bei der ein Vektor auf der Geraden liegt und einer dazu senkrecht ist. Damit ist dann unmittelbar klar, was die Bilder dieser Vektoren unter der orthogonalen Projektion sind und daraus folgt dann nach den üblichen Regeln sofort die Matrixdarstellung. Edit: Interessanter ist im wikipedia-Artikel der darauf folgende Abschnitt "Darstellung" |
||||||
15.05.2016, 19:47 | Xyarvius | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Matrixdarstellung von Orthogonalprojektionen Ah, ja, das leuchtet mir ein Also wähle ich den Vektor mit und also und den dazu orthogonalen Vektor (da sein muss) als Basis (ggf. noch zeigen dass diese l.u. sind?). Nach Wikipedia gilt dann:
Die Abbildungsmatrix wäre doch dann gegeben durch: und woraus dann die Abbildungsmatrix folgt? Ich verstehe noch nicht was der Vektor x ist:
|
||||||
16.05.2016, 00:21 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Matrixdarstellung von Orthogonalprojektionen Zwei von Null verschiedene, orthogonale Vektoren sind immer linear unabhängig. Das ist mit dem Skalarprodukt auch schnell gezeigt. Was machst du denn da?
Wir waren uns doch einig, das ein Vektor auf der Geraden, also a, auf sich abgebildet wird. Und ein zur Geraden senkrechter Vektor, also b, wird auf den Nullvektor abgebildet. Also ist und und damit ist die Darstellungsmatrix bzgl. dieser Basis |
||||||
Anzeige | ||||||
|
||||||
16.05.2016, 12:11 | Xyarvius | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Urgh, ja natürlich, wie komme ich auf so einen Quatsch Gut, weiter im Text. Die Idem-Potenz ist ja leicht gezeigt indem ich zeige, dass ist. Dann kann ich für Aufgabenteil 2 ja ähnlich Verfahren. Ich wähle mir den Vektor (da ) der in der Ebene liegt. Jetzt bestimme ich mittels Skalarprodukt einen zweiten Vektor der orthogonal zu ist wobei dieser auch in der Ebene liegen soll, daher wähle ich . Also: . Ich wähle und komme dann nach umstellen und einsetzen auf , also auf den Vektor, der in der Ebene liegt und orthogonal zu ist. Mittels des Kreuzproduktes erhalte ich dann den Vektor der orthogonal zu und ist und somit senkrecht auf der Ebene steht. Damit bilden meine Basis (l.u. ist damit wie bei Aufgabenteil 1 offensichtlich). Dann gilt: und daraus die Darstellungsmatrix bzgl. der Basis, bei der die Idem-Potenz wieder schnell gezeigt ist. Richtig? |
||||||
16.05.2016, 12:29 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
yep Wobei du einen Normalenvektor der Ebene auch direkt aus abelesen kannst (Hesse Normalform lässt grßen) |
||||||
16.05.2016, 12:38 | Xyarvius | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ah, super, sehr gut zu wissen Vielen Dank für die Hilfe. Ach ja, rein aus Neugier: Könnte man bei der Aufgabe auch mit den Orthonormalbasen der Bildmengen arbeiten, und wenn ja, wie würde das ganz grob aussehen? |
||||||
16.05.2016, 12:55 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich halte mich an die Notation hier Der Koordinatenvektoren einer Orthonormalbasis der Geraden aus dem ersten Beispiel bzgl. der Standardbasis des ist Dann ist die Darstellungsmatrix der Projektion bzgl. der Standardbasis des |
||||||
16.05.2016, 13:59 | Xyarvius | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ah ja, das ist ja mal interessant. Vielen Dank! |
|
Verwandte Themen
Die Beliebtesten » |
|
Die Größten » |
|
Die Neuesten » |