Tensorprodukt berechnen

15.05.2016, 16:06

Shalec

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Tensorprodukt berechnen

Hallo,
ich möchte erlernen, wie ich von vorgegebenen Mengen ein Tensorprodukt berechnen kann.

Als wahrscheinlich einfaches Beispiel nehme ich mal $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \oplus_\mathbb{Z} \mathbb{Z}^4 \end{eqnarray*}$

Meine 1. Frage: Wie ist das Allgemeine Vorgehen, wenn man ein Tensorprodukt berechnen will?

Da ich noch keine Erklärung in dem Skript http://www.mathematik.uni-kl.de/~gathman...g-2013/main.pdf ab Seite 43 zu $\begin{eqnarray*} \oplus_\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ gesehen habe, möchte ich zunächst dieses Zeichen klären.
Kurz: Ein Tensorprodukt T von $\begin{eqnarray*} M\times N \end{eqnarray*}$ ist ein R-Modul zusammen mit einer R-biliniearen Abbildung $\begin{eqnarray*} \varphi:\ M\times N \to T \end{eqnarray*}$ bzgl. zweier R-Moduln M,N. Demnach wäre es für mich intuitiv $\begin{eqnarray*} R=\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ zu wählen. Damit wäre dann $\begin{eqnarray*} \oplus_\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ stellvertretend für $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ .

In dem Beispiel 5.10.c) vom Skript und in 19.2 von http://www.math.umn.edu/~garrett/m/algebra/exercises/s19.pdf werden jeweils ein Tensorprodukt berechnet. In diesen beiden Berechnungen wird immer als erstes nachgerechnet, dass das Tensorprodukt 0 ist. (Oder wie ich das genau beschreiben soll..)

Der Trick von 19.2 lässt sich hier ja nicht oBdA anwenden. Da idR nur eine "kleine" Teilmenge des $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}^4 \end{eqnarray*}$ in jeder Koordinate durch 6 teilbar ist. Bevor ich jetzt noch mehr schreibe und dann anhand der Länge des Textes keiner mehr Lust hat, das hier zu lesen ( Big Laugh

Big Laugh

), belasse ich es vorerst dabei.

Folgende Vermutungen stelle ich mal an, wenn ich die 5 Teile der Aufgabe der Reihe nach mit (i)-(v) nummeriere.
(i) = (ii) = 0
(iii)-(v) weiß ich noch nicht, vermutlich ungleich 0.

Bemerkung: Ich möchte mich an der Aufgabe 5.11 vom Skript versuchen.

Viele Grüße und vielen Dank

15.05.2016, 22:47

Elvis

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Tensorprodukte von Vektorräumen über einem Körper K definiert man genau so wie bei Moduln über Ringen durch die universelle Eigenschaft. Man weiss dann, dass Tensoren endliche Linearkombinationen reiner Tensoren $\begin{eqnarray*} v\otimes w \end{eqnarray*}$ sind, und eine Basis besteht aus den Tensorprodukten von Basisvektoren. Gute Vorlesung ueber multilineare Algebra und Moduln über Hauptidealringen: TIMMS Lineare Algebra II von Anton Deitmar.

16.05.2016, 09:26

Elvis

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Wichtig: Das Tensorprodukt ist weniger ein Produkt zwischen Elementen (Vektoren), sondern vielmehr ein Produkt zwischen Strukturen (Vektorräumen).
Wichtig: Moduln über $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ sind genau die abelschen Gruppen.
Wichtig: Hauptsatz über endlich erzeugte Moduln.

16.05.2016, 10:41

Shalec

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Zitat:

Original von Elvis
Tensorprodukte von Vektorräumen über einem Körper K definiert man genau so wie bei Moduln über Ringen durch die universelle Eigenschaft. Man weiss dann, dass Tensoren endliche Linearkombinationen reiner Tensoren $\begin{eqnarray*} v\otimes w \end{eqnarray*}$ sind, und eine Basis besteht aus den Tensorprodukten von Basisvektoren. Gute Vorlesung ueber multilineare Algebra und Moduln über Hauptidealringen: TIMMS Lineare Algebra II von Anton Deitmar.

Diese werde ich mir nun erstmal anschauen. In Stunde 17 geht es ja los. smile

smile

Interessant ist ja direkt sein T-Shirt in der Vorlesung. Vermutlich ein Statement zum Geschmack.

"Hauptsatz über e.e. Moduln" wurde in dem Skript gar nicht eingeführt. Nachdem ich google gefragt hatte, habe ich auch die Aussage gefunden. Sollte hier aber nicht unbedingt notwendig sein.

16.05.2016, 10:48

Shalec

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Zitat:

Original von Shalec

Zitat:

Original von Elvis
Tensorprodukte von Vektorräumen über einem Körper K definiert man genau so wie bei Moduln über Ringen durch die universelle Eigenschaft. Man weiss dann, dass Tensoren endliche Linearkombinationen reiner Tensoren $\begin{eqnarray*} v\otimes w \end{eqnarray*}$ sind, und eine Basis besteht aus den Tensorprodukten von Basisvektoren. Gute Vorlesung ueber multilineare Algebra und Moduln über Hauptidealringen: TIMMS Lineare Algebra II von Anton Deitmar.

Diese werde ich mir nun erstmal anschauen. In Stunde 17 geht es ja los. smile

smile

Interessant ist ja direkt sein T-Shirt in der Vorlesung. Vermutlich ein Statement zum Geschmack.

"Hauptsatz über e.e. Moduln" wurde in dem Skript gar nicht eingeführt. Nachdem ich google gefragt hatte, habe ich auch die Aussage gefunden. Sollte hier aber nicht unbedingt notwendig sein.

Mein Ansatz wäre ja erstmal, da Z/6Z nur 6 Elemente hat, mal die Elemente zu notieren.

$\begin{eqnarray*} <br /> \overline{0} \otimes_\mathbb{Z} \mathbb{Z}^4 <br /> \overline{1} \otimes_\mathbb{Z} \mathbb{Z}^4 <br /> \overline{2} \otimes_\mathbb{Z} \mathbb{Z}^4 <br /> \overline{3} \otimes_\mathbb{Z} \mathbb{Z}^4 <br /> \overline{4} \otimes_\mathbb{Z} \mathbb{Z}^4 <br /> \overline{5} \otimes_\mathbb{Z} \mathbb{Z}^4 <br /> \end{eqnarray*}$

Die Restklassen 2,3,4 sind Nullteiler. 2 und 4 werden im Produkt mit 3 auf 0 abgebildet. Lassen sich also auf der rechten Seite eine 3 ausklammern, so kann ich dies Aufgrund der Bilinearität auf die linke Seite ziehen und erhalte als Ergebnis 0. Sonst nicht.
Analog zur 3, lässt sich eine 2 ausklammern.
Bei 1 und 5 muss eine 2 und 3 ausklammerbar sein (also eine 6), damit ich hier auf 0 abbilde.

Da ich nicht weiß, ob ein solcher Beweis existiert (wahrscheinlich wusste ich das mal), aber es für mich naheliegend ist $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}^2 \tilde{=} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ zu identifizieren, frage ich erstmal: Stimmt das überhaupt?
Lässt sich dann nicht $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \otimes_\mathbb{Z} \mathbb{Z}^4 \tilde{=}\mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \otimes_\mathbb{Z} \mathbb{Q}^2 \end{eqnarray*}$ identifizieren?

16.05.2016, 11:50

Elvis

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Das kommt mir alles falsch vor, leider ... Ich bin aber auch nur theoretisch fit, rechnen kann ich nicht wirklich gut damit ...
$\begin{eqnarray*} \mathbb Z^2\cong \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ? Dagegen spricht, dass man Brüche erweitern und kürzen kann: 1/2=2/4=3/6=...=-1/(-2)=...
Tensoren sind (meiner Meinung nach) nicht Tensorprodukte aus Elementen des einen Moduls tensoriert mit dem anderen Modul, sondern Tensorprodukte aus Elementen des einen Moduls tensoriert mit Eementen des anderen Moduls ... bzw. etwas viel verwickelteres : Linearkombinationen davon bei Vektorräumen und Linearkombinationen aus Restklassen von so etwas bei Moduln .

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16.05.2016, 12:28

Shalec

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Zitat:

Original von Elvis
Das kommt mir alles falsch vor, leider ... Ich bin aber auch nur theoretisch fit, rechnen kann ich nicht wirklich gut damit ...
$\begin{eqnarray*} \mathbb Z^2\cong \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ? Dagegen spricht, dass man Brüche erweitern und kürzen kann: 1/2=2/4=3/6=...=-1/(-2)=...
Tensoren sind (meiner Meinung nach) nicht Tensorprodukte aus Elementen des einen Moduls tensoriert mit dem anderen Modul, sondern Tensorprodukte aus Elementen des einen Moduls tensoriert mit Eementen des anderen Moduls ... bzw. etwas viel verwickelteres : Linearkombinationen davon bei Vektorräumen und Linearkombinationen aus Restklassen von so etwas bei Moduln .

Ich bin noch dabei die Vorlesung durch zu gehen. Dabei ist mir aber auch bereits aufgefallen, dass solch eine native Betrachtung nicht der Schlüssel ist. Viel mehr hat mir folgende Einführung sehr geholfen:
$\begin{eqnarray*} V\otimes W = K[V\times W]/R \end{eqnarray*}$ wobei R durch die Problemelemente (vgl. https://de.wikipedia.org/wiki/Tensorprod...undkonstruktion ) erzeugt wird. Dadurch habe ich den ersten Zugang erhalten. Aber in der Vorlesung kommen so viele Informationen daher, dass ein einfaches Anschauen ohne Zettel und Stift nicht im vollen Umfang hilfreich ist. Daher zurück auf (fast) Anfang und diesmal mit Notizen Big Laugh

Big Laugh

Insgesamt finde ich die Vorlesung gut strukturiert und sehr verständlich erklärt.

Offtopic: Woher hast du Kenntnis über eine solche digitalisierte Vorlesungsreihe? (Antworten musst du hierauf nicht, wenn du dies nicht willst. Ich habe für sowas immer volles Verständnis.)
Anhand der digitalisierten Vorlesungen im Netz, lassen sich vermutlich bald vollständige Onlinestudiengänge etablieren, die ausschließlich von solchen Vorlesungen leben. (Die gewählten besten Vertreter einer Vorlesung gebündelt)

Vielleicht komme ich heute noch dazu, die Vorlesung durchzuarbeiten. So viel Zeit habe ich aber leider idR (auch an Feiertagen) nicht. unglücklich

unglücklich

16.05.2016, 13:05

Elvis

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Den Tübinger Internet MultiMedia Server http://timmsrc.uni-tuebingen.de/ habe ich schon 2009 entdeckt, und seitdem höre ich dort regelmäßig Lineare Algebra und Analysis, Astronomie, Geschichte, Philosophie und Theologie. Gut auch das Studium Generale (über Browse - button findet man alles gut sortiert). Technisch ist der Tübinger Server in den letzten Jahren immer besser geworden, und bisher habe ich keinen besseren Server gefunden.
Physik und Astronomie höre ich über das eLecture Portal der Goethe-Universität Frankfurt http://electure.studiumdigitale.uni-fran...tartpage&sem=12 und auch gerne von Leonard Susskind (Stanford University) über YouTube https://www.youtube.com/watch?v=pyX8kQ-J...n8x1lo-O_kpZGk8 ( da habe ich auch gestaunt, dass dort etwas sinnvolles zu finden ist ) .
Eine Zusammenfassung von online-Vorlesungen habe ich kürzlich hier gefunden : http://www.online-vorlesungen.de/ . Viele Server sind leider schlecht sortiert, inhaltlich nicht nur hochwertig und technisch nicht immer brauchbar.

Sehr schade ist, dass das Angebot an Mathematik-Vorlesungen sich immer nur auf das Grundstudium beschränkt. Ich habe in Tübingen darum gebeten, auch weiterführende Vorlesungen zu veröffentlichen, traf auch auf wohlwollendes Verständnis, vielleicht passiert zukünftig mehr ... sicher ist das aber nicht, und solange man nicht das ganze Angebot online geschenkt bekommt, muss man zur Uni gehen (das ist mir aber zu aufwendig).

16.05.2016, 14:27

Shalec

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Zitat:

Original von Elvis
Den Tübinger Internet MultiMedia Server http://timmsrc.uni-tuebingen.de/ habe ich schon 2009 entdeckt, und seitdem höre ich dort regelmäßig Lineare Algebra und Analysis, Astronomie, Geschichte, Philosophie und Theologie. Gut auch das Studium Generale (über Browse - button findet man alles gut sortiert). Technisch ist der Tübinger Server in den letzten Jahren immer besser geworden, und bisher habe ich keinen besseren Server gefunden.
Physik und Astronomie höre ich über das eLecture Portal der Goethe-Universität Frankfurt http://electure.studiumdigitale.uni-fran...tartpage&sem=12 und auch gerne von Leonard Susskind (Stanford University) über YouTube https://www.youtube.com/watch?v=pyX8kQ-J...n8x1lo-O_kpZGk8 ( da habe ich auch gestaunt, dass dort etwas sinnvolles zu finden ist ) .
Eine Zusammenfassung von online-Vorlesungen habe ich kürzlich hier gefunden : http://www.online-vorlesungen.de/ . Viele Server sind leider schlecht sortiert, inhaltlich nicht nur hochwertig und technisch nicht immer brauchbar.

Sehr schade ist, dass das Angebot an Mathematik-Vorlesungen sich immer nur auf das Grundstudium beschränkt. Ich habe in Tübingen darum gebeten, auch weiterführende Vorlesungen zu veröffentlichen, traf auch auf wohlwollendes Verständnis, vielleicht passiert zukünftig mehr ... sicher ist das aber nicht, und solange man nicht das ganze Angebot online geschenkt bekommt, muss man zur Uni gehen (das ist mir aber zu aufwendig).

Da sind ja schon ein paar sehr interessante Inhalte dabei. Sehr gut fand ich z.B. die Vorlesung von Christian Spannagel zur Zahlentheorie ( https://www.youtube.com/user/pharithmetik/playlists )
Vielen Dank für die Links. Bislang habe ich mit Youtube, und dem kostenfreien Springer-link Programm meiner Uni gelebt. (Das ein oder andere Buch habe ich mir natürlich auch gekauft.)

Mir ist übrigens eingefallen: $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}^2\tilde{=} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ . Man kann hier einen Ringhomomorphismus definieren und erhält das Kürzen/Erweitern quasi als Operation über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ geschenkt. Man identifiziert dann "(a,b) = a/b" (so dachte ich). Dies sollte auch bzgl. $\begin{eqnarray*} \otimes_\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ funktionieren. Aber ich eigne mir jetzt erstmal Grundlagen an.

Viele Grüße und vielen Dank für die Links.

16.05.2016, 18:09

Elvis

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Danke für den Zahlentheorie - Link. Das ist aber wieder nur elementare Zahlentheorie. Ich wünsche mir algebraische, analytische und algorithmische Zahlentheorie, lokale Körper (J.P.Serre), Klassenkörpertheorie, p-adische Analysis, Beweis des Satz von Fermat (A.Wiles), etc.pp.

16.05.2016, 19:57

Shalec

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Dazu kann ich leider nur Buchempfehlungen aussprechen LOL Hammer

LOL Hammer

z.B. die Bücher von Henri Cohen (Number Theory Vol. I und II, A Course in Computational Algebraic Number Theory). Aber Vorlesungen sind schon effektiver und "anschaulicher" Big Laugh

Big Laugh

Ich könnte sogar wetten, wenn man dem Spannagel eine Mail schickt, wird er alles mögliche tun, um dies - insofern es in seinen Möglichkeiten liegt - zu realisieren. Habe noch 5 Minuten der 17. Vorlesung vor mir.. Bislang wurde nur das Tensorprodukt auf Vektorräumen eingeführt und eben die Existenz und Eindeutigkeit bewiesen. Die restlichen 5 Minuten wird er sich mit dem Beweis "Sind (v_i) bzw. (w_i) eine Basis von V bzw. W, dann ist $\begin{eqnarray*} (v_i \otimes w_i)_i \end{eqnarray*}$ eine Basis von $\begin{eqnarray*} V\otimes W \end{eqnarray*}$ .
Dies lässt sich vermutlich 1-zu-1 auf e.e. freie Moduln ummünzen. Viele der Aussagen, die er gemacht hat, sind ebenfalls direkt für Moduln zutreffend.
Insofern ich mich richtig erinnere gilt allerdings für Moduln nicht: Jedes Modul mit einem Erzeugendensystem hat eine Basis. (Dann wäre i.A. nämlich e.e. äquivalent zu frei)

16.05.2016, 20:42

tatmas

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Zitat:

Viel mehr hat mir folgende Einführung sehr geholfen: $\begin{eqnarray*} V\otimes W = K[V\times W]/R \end{eqnarray*}$ wobei R durch die Problemelemente (vgl. wikipedia.org/wiki/Tensorprod...undkonstruktion ) erzeugt wird.

Du läufst hier in die komplett falsche Richtung.
Diese Konstruktion ist dafür da die Existenz des Tensorprodukts zu zeigen.
Sie ist zum Rechnen absolut ungeeignet.
Man berechnet Tensorprodukte über (universelle) Eigenschaften. (wie so ziemlich alles andere in der ALgebra ja auch)
z.B.
ist $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 6 \otimes_\mathbb Z \mathbb Z ^4 = (\mathbb Z/6 \otimes _\mathbb Z \mathbb Z )^4 =(\mathbb Z/6)^4 \end{eqnarray*}$
Das benutzt nur die Eigenschaften, die der englische Wikipedia-Eintrag als Distributivitätund Identität bezeichnet.

16.05.2016, 20:48

tatmas

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matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1515

16.05.2016, 21:10

Shalec

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Zitat:

Original von tatmas

Zitat:

Viel mehr hat mir folgende Einführung sehr geholfen: $\begin{eqnarray*} V\otimes W = K[V\times W]/R \end{eqnarray*}$ wobei R durch die Problemelemente (vgl. wikipedia.org/wiki/Tensorprod...undkonstruktion ) erzeugt wird.

Du läufst hier in die komplett falsche Richtung.
Diese Konstruktion ist dafür da die Existenz des Tensorprodukts zu zeigen.
Sie ist zum Rechnen absolut ungeeignet.
Man berechnet Tensorprodukte über (universelle) Eigenschaften. (wie so ziemlich alles andere in der ALgebra ja auch)

Das hatte ich mir schon gedacht, dass mir das zum Rechnen nicht weiter hilft. Aber dadurch hatte ich einen ersten Zugang zu den Tensorprodukten erhalten. Nachdem ich nun auch nochmal das Skript langsam gelesen habe, hatte ich auch eine ähnliche Definition gefunden. Dadurch hat sich für mich selbst die Ausführung im Skript ergänzt und ich habe erkannt, dass eigentlich alles im Skript vorhanden ist, man nur mehr als aufmerksam lesen sollte. Rechnen konnte ich allerdings immer noch nicht. smile

smile

Deine Rechnung hat mir zum Beispiel gezeigt, dass ich noch keinen guten Überblick über das Thema habe. Wo ich es sehe, scheint es mir so trivial und nativ. Lesen2

Lesen2

Zitat:

Original von tatmas
$\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 6 \otimes_\mathbb Z \mathbb Z ^4 = (\mathbb Z/6 \otimes _\mathbb Z \mathbb Z )^4 =(\mathbb Z/6)^4 \end{eqnarray*}$
Das benutzt nur die Eigenschaften, die der englische Wikipedia-Eintrag als Distributivitätund Identität bezeichnet.

Ich hätte dies schon fast genau so angewandt, aber ich hatte nirgends gesehen, warum ich das machen dürfte. :/ Danke. Damit gehts jetzt erstmal weiter. Ich werde hier morgen mal meine Lösungen tippen. Vielleicht aber auch erst am Mittwoch. Morgen geht ein Seminar von 18-22 Uhr und mein Weg zur Uni beträgt immer so um die 1,5h ^^ Ab 22 Uhr brauche ich dann bestimmt 3h bis nach Hause..

Frage:
$\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}^4 \tilde{=} \mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}? \end{eqnarray*}$ oder interpretiert man das eher so? $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}^4 \tilde{=} \mathbb{Z}\times 0^3 \oplus 0\times \mathbb{Z} \times 0^2 \oplus 0^2\times \mathbb{Z}\times 0 \oplus 0^3\times \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ?

Ich würde sagen: nur letztere.

16.05.2016, 21:45

tatmas

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Was soll denn sowas wie 0³ in diesem Kontext sein?

16.05.2016, 21:49

Shalec

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Zitat:

Original von tatmas
Was soll denn sowas wie 0³ in diesem Kontext sein?

Einfach $\begin{eqnarray*} 0\times 0 \times 0 \end{eqnarray*}$ ich wollte es nur leserlich halten smile

smile

16.05.2016, 22:01

tatmas

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Mehrere Sachen:
Wenn für Dich eindeutig 0³=0x0x0 ist wieso ist dann nicht auch genauso $\begin{eqnarray*} \mathbb Z^3= \mathbb Z \times \mathbb Z \times \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ?

Dann ist x das kartesische Produkt (oder solll es was anderes Sein).
0 ist a priori keine Menge, wenn dann sollte es {0} sein.

Nächstes Problem:
Du willst eine Isomorphie von Moduln, das kartesische Produkt ist keine Operation auf Moduln.

Also eindeutig die erste Interpretation.

Generell: Das hier ist Algebra keine Mengenlehre. Lies mal ein paar Artikel, wie den verlinkten von Martin_Infinite durch.

17.05.2016, 20:09

Shalec

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Zitat:

Original von tatmas
Mehrere Sachen:
Wenn für Dich eindeutig 0³=0x0x0 ist wieso ist dann nicht auch genauso $\begin{eqnarray*} \mathbb Z^3= \mathbb Z \times \mathbb Z \times \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ?

Gute Frage.. ich war ein wenig verwirrt und noch leicht überfordert. Heute ist es klar, dass mein Umweg (zu dem ich überhaupt nur wegen einer Rechenregel gekommen bin..) nicht vorteilhaft war.

Zitat:

Original von tatmas
Dann ist x das kartesische Produkt (oder solll es was anderes Sein).
0 ist a priori keine Menge, wenn dann sollte es {0} sein.

Ok. Ich hatte der Einfachheithalber einfach 0 mit {0} identifiziert.

Zitat:

Original von tatmas
Nächstes Problem:
Du willst eine Isomorphie von Moduln, das kartesische Produkt ist keine Operation auf Moduln.

Also eindeutig die erste Interpretation.

Generell: Das hier ist Algebra keine Mengenlehre. Lies mal ein paar Artikel, wie den verlinkten von Martin_Infinite durch.

Ok.

Mal meine Ergebnisse, nachfolgend "=" als Isomorphie betrachten:
$\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \otimes_\mathbb{Z} \mathbb{Z}^4 = (\mathbb{Z}/6\mathbb{Z})^4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[x] \otimes_\mathbb{R} \mathbb{C} = \mathbb{C}[x] \end{eqnarray*}$ (über die Komplexifizierung)
$\begin{eqnarray*} \mathbb{C}\otimes_\mathbb{R} \mathbb{C} = \mathbb{C}^2 \end{eqnarray*}$ (Da $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} = \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ ein R-Vektorraum)

Das einzige, bei dem ich noch unsicher bin, ist:
$\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}/\mathbb{Z} \otimes_\mathbb{Z} \mathbb{Q}/\mathbb{Z}=0 \end{eqnarray*}$
Hier bin ich der Meinung, dass dies aus der $\begin{align*} \mathbb{Z} \end{align*}$ -Bilinearität folgt. Da ich beliebig erweitern kann und somit einen Faktor im Zähler gemäß des Nenners im ersten Argument ausklammern kann. D.h. wenn ich das auf reine Tensoren reduziere:
$\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} \otimes \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \otimes \frac{bc}{bd} = \frac{ba}{b} \otimes \frac{c}{bd} = 0 \otimes \frac{c}{bd} =0 \end{eqnarray*}$

Stimmen die Ergebnisse erstmal soweit?

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