Tangenten von P auf der Leitlinie an eine Parabel sind orthogonal

15.05.2016, 17:26

Geometrius

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Tangenten von P auf der Leitlinie an eine Parabel sind orthogonal

Hallo!

Sei P ein Punkt auf der Leitlinie einer Parabel. Ich soll zeigen, dass die Tangenten von P an die Parabel senkrecht stehen und die Gerade durch die Berührungspunkte dieser Tangenten an P durch den Brennpunkt geht.

Meine Ideen:

1.) Ich wähle die nach rechts geöffnete Parabel mit der Gleichung $\begin{eqnarray*} y^2 =4ax \end{eqnarray*}$ - der Brennpunkt besitzt also die Koordinaten $\begin{eqnarray*} F(a, 0) \end{eqnarray*}$ , der Scheitel ist bei $\begin{eqnarray*} S(0,0) \end{eqnarray*}$ und die Leitlinie ist gegeben durch $\begin{eqnarray*} x = -a \end{eqnarray*}$ .

3.) Nun müsste ich ja meine Geraden so wählen, dass sie durch den Punkt $\begin{eqnarray*} P \in Leitlinie \end{eqnarray*}$ gehen und die Parabel in den Punkten $\begin{eqnarray*} B_1, B_2 \end{eqnarray*}$ schneiden.

4.) Von Punkt $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ weiß ich, dass er die Koordinaten $\begin{eqnarray*} P = (-a, y_P) \end{eqnarray*}$ besitzt.

5.) Jetzt sollte ich vermutlich die Gleichungen $\begin{eqnarray*} y^2 = 4ax \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_P = -a\cdot m + t_1 \end{eqnarray*}$ gleichsetzen und lösen?

15.05.2016, 17:51

willyengland

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Ich verstehe die Aufgabe nicht:
Wenn du Yp beliebig groß machst, ist der Berührungspunkt mit der Parabel doch extrem weit vom Brennpunkt entfernt. Da kann doch die Gerade durch diese Berührungspunkte nicht durch den Brennpunkt gehen.

15.05.2016, 18:07

Bürgi

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Guten Abend
+
Fröhliche Pfingsten.

Hier kommen 1000 Worte Erklärung:
[attach]41643[/attach]

15.05.2016, 18:20

Geometrius

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Vielen Dank!

Die Skizze ist ganz hervorragend.
Nur wie bringe ich das in einen Beweis, der nicht geometrisch-anschaulich ist?

15.05.2016, 18:54

Geometrius

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Hallo nochmal,

Verzeihung für den Doppelpost, aber ich habe es jetzt fast. Ich betrachte jetzt aber eine nach oben geöffnete Normalparabel: $\begin{eqnarray*} y= ax2 \end{eqnarray*}$

Ich habe jetzt begonnen, indem ich einen Punkt außerhalb der Parabel wählte und eine Tangente aufgestellt habe, die durch diesen Punkt und einen Berührpunkt auf der Parabel geht.

Letztlich habe ich das so umgeformt, dass ich zwei Möglichkeiten für einen Steigungsfaktor erhalte. Das Produkt der beiden Steigungen betrachte ich:

$\begin{eqnarray*} m_1 \cdot m_2 = -1 \end{eqnarray*}$ . Wann ist das der Fall? Bei mir dann, wenn:

$\begin{eqnarray*} m_1 \cdot m_2 = 4ky_0 = -1 \end{eqnarray*}$ , also genau dann wenn: $\begin{eqnarray*} y_0 = \frac{-1}{ak} \end{eqnarray*}$ .
Hierbei ist $\begin{eqnarray*} y_0 \end{eqnarray*}$ die Y-Koordinaten des Punktes außerhalb der Parabel und $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ stammt aus der Parabelgelichung.

Wie kann ich darauf schließen, dass ein Punkt mit den Koordinaten auf der Leitlinie liegen muss?

15.05.2016, 18:56

Geometrius

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..So ein Mist, es muss natürlich heißen:

Parabel: $\begin{eqnarray*} y = ax^2 \end{eqnarray*}$ .

Und $\begin{eqnarray*} m_1 \cdot m_2 = 4ay_0 = -1 \end{eqnarray*}$ genau dann wenn: $\begin{eqnarray*} y_0 = \frac{-1}{4a} \end{eqnarray*}$

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15.05.2016, 19:31

willyengland

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Zitat:

also genau dann wenn: $\begin{eqnarray*} y_0 = \frac{-1}{ak} \end{eqnarray*}$ .

Das ist doch genau die Definition der Leitlinie. smile

smile

16.05.2016, 09:17

Bürgi

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Guten Morgen,

Du hast jetzt zwar einen schönen Beweis geliefert, allerdings Deine Aufgabe nicht gelöst verwirrt

verwirrt

Zitat:

Sei P ein Punkt auf der Leitlinie einer Parabel.

Du hast gezeigt, dass sich orthogonale Parabeltangenten auf der Leitlinie schneiden. Lt. Aufgabenstellung solltest Du aber von einem Punkt der Leitlinie ausgehen.

16.05.2016, 10:13

Geometrius

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Hallo - mhhh!

Also ich bin ja von einem "Punkt außerhalb (genauer: "unterhalb") der Parabel" ausgegangen.
Reicht es nicht, wenn ich dann zeige "Ein Punkt liegt auf der Leitlinie einer Parabel genau dann, wenn die Tangenten durch diesen Punkt an die Parabel orthogonal sind"?.

Und der zweite Teil fehlt ja auch noch unglücklich

unglücklich

"Die Gerade durch die Berührpunkte einer dieser Tangenten (durch P ...) enthält den Brennpunkt".

Gesucht ist also die Gleichung der Geraden durch die Berührpunkte; wenn ich diese habe, kann ich zeigen, dass der Brennpunkt F auf der Geraden liegt.

Wie erhalte ich diese Gerade?
1.) Ich kenne bereits die Steigung der Tangenten durch den Berührpunkt der Parabel $\begin{eqnarray*} B = (x_B, y_B) = (k, ak^2) \end{eqnarray*}$ . Diese ist nämlich $\begin{eqnarray*} m = 2ka \rightarrow k = m/2k \end{eqnarray*}$ .

2.) Dann müsste ich durch den Punkt P die Gerade mit Steigung $\begin{eqnarray*} -1/m \end{eqnarray*}$ gehen lassen und die Gerade mit der Parabel schneiden verwirrt

verwirrt

3.) Die Gerade durch diesen Schnittpunkt (= 2. Berührpunkt) und meinen ersten Berührpunkt ist die gesuchte Gerade?

16.05.2016, 16:01

willyengland

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Zum ersten Punkt:
Du darfst eben nicht mit $\begin{eqnarray*} m_1 *m_2 = -1 \end{eqnarray*}$ einsteigen, sondern musst das als Ergebnis kriegen.

Statt dessen musst du mit $\begin{eqnarray*} y_0 = \frac{-1}{4a} \end{eqnarray*}$ einsteigen, was jetzt dein Ergebnis war. Also sozusagen "andersrum".
Wähle dir einen Punkt auf der Leitlinie, setze ihn in die Geradengleichung ein, benutze m aus der ersten Ableitung der Parabel und setze das ganze mit der Parabel gleich. So erhältst du die Schnittpunkte. Damit kannst du dann zwei Geradengleichungen aufstellen. Nun musst du noch schauen, ob $\begin{eqnarray*} m_1*m_2=-1 \end{eqnarray*}$ ist.

Zum Folgenden:
Die Berührpunkte hast du dann ja, also kannst du da auch eine Gerade durchlegen.
Dann musst du nur noch gucken, ob auch der Brennpunkt drauf liegt.

17.05.2016, 20:48

willyengland

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Besteht noch Interesse an der Lösung?
Ich habe das Ganze jetzt mal an einem Beispiel durchgerechnet.
Stimmt alles.

Vermutlich kann man es auch allgemein, nur mit Buchstaben zeigen, aber das ist mir im Moment zu aufwändig.

18.05.2016, 00:10

riwe

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Zitat:

Original von willyengland
Besteht noch Interesse an der Lösung?
Ich habe das Ganze jetzt mal an einem Beispiel durchgerechnet.
Stimmt alles.

Vermutlich kann man es auch allgemein, nur mit Buchstaben zeigen, aber das ist mir im Moment zu aufwändig.

na wenn schon, dann muß man das allgemein zeigen,
was ja auch ziemlich einfach ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.05.2016, 08:11

willyengland

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Zitat:

Original von riwena wenn schon, dann muß man das allgemein zeigen,
was ja auch ziemlich einfach ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

Für dich!

Big Laugh

Ich säße da stundenlang dran.

18.05.2016, 10:37

riwe

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das ist kein "Zeitproblem", es geht doch darum, etwas zu beweisen, und das geht nun einmal nicht mit einem einzigen Beispiel, höchstens du beweist damit das Gegenteil.

nebenbei: es ist wirklich eher ziemlich einfach, wieso gehtst du nicht den von dir skizzierten Weg allgemein Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.05.2016, 17:31

Geometrius

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Wink

Ja, es besteht noch Interesse an der Lösung der Aufgabe - leider hatte ich nur bis jetzt keine Zeit mehr, weiter zu arbeiten.

Also der "1. Teil" passt soweit. Was mir jetzt noch Schwierigkeiten bereitet, ist zu zeigen:

Die Tangenten (durch den Punkt P auf der Leitgerade) sind orthogonal genau dann, wenn die Gerade durch ihre Berührpunkte mit der Parabel den Brennpunkt F enthalten

Prinzipiell hat ja willyengland schon alles gesagt: Ich nehme die Berührpunkte, bilde daraus eine Gerade und prüfe, ob der Brennpunkt drauf liegt.

Na gut, meine Berührpunkte sind ja einmal $\begin{eqnarray*} B = (a, ak^2) \end{eqnarray*}$ und die Tangente durch B lautet $\begin{eqnarray*} y = 2ak\cdot x + d \end{eqnarray*}$ , woraus durch Einsetzen der Steigung im Punkt B und durch Einsetzen von B dann folgt: $\begin{eqnarray*} y = 2ak\cdot x - ak^2 \end{eqnarray*}$ .

Aber welchen zweiten Berührpunkte wähle ich? Kann mir jemand bei den ersten Schritten helfen, bei mir kommt letztlich nur noch eine unansehnliche Zahl-Symbol-Kette heraus verwirrt

verwirrt

verwirrt

Oder hätte ich das von Anfang an besser machen können?

19.05.2016, 23:48

mYthos

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Man sollte das Problem von Anfang nochmals aufrollen.
Dabei kann man sowohl von der klassischen Parabel $\begin{eqnarray*} y^2 = 2px \end{eqnarray*}$ als auch von der Parabel $\begin{eqnarray*} y = ax^2 \end{eqnarray*}$ ausgehen.
Nachdem zuletzt letztere favorisiert wurde, bleiben wir bei dieser.
Wie bei der klassischen Parabel können wir auch hier eine sogenannte Berührbedingung ableiten. Diese Bedingung gibt den Zusammenhang zwischen a, m und d wieder, wenn eine Gerade mit der Gleichung $\begin{eqnarray*} y = mx + d \end{eqnarray*}$ die Parabel $\begin{eqnarray*} y = ax^2 \end{eqnarray*}$ berührt:

Sie lautet: $\begin{eqnarray*} m^2 = -4ad \end{eqnarray*}$ [Zum Vergleich, bei der klassischen Parabel ist sie: $\begin{eqnarray*} p = 2md \end{eqnarray*}$ ]

Die Herleitung geschieht, indem die Parabel mit der Geraden geschnitten und die Diskriminante* der entstehenden Gleichung Null gesetzt wird, weil bei einer Tangente der Berührungspunkt eine Doppellösung sein muss.

$\begin{eqnarray*} y = ax^2 \ \wedge \ y = mx + d \ \to \ ax^2 - mx - d = 0 \end{eqnarray*}$

(*) Die Diskrimante $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ ist der Ausdruck unter der Wurzel der quadratischen Gleichung $\begin{eqnarray*} ax^2 + bx + c = 0, \ D = b^2 - 4ac \end{eqnarray*}$

Hier bei unserer Gleichung ist somit

$\begin{eqnarray*} x_{1,2} = \frac{m \pm \sqrt{m^2 + 4ad}}{2a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D = m^2 + 4ad = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to \ m^2 = -4ad \end{eqnarray*}$
==============
Damit legen wir nun von einem beliebigen Punkt der Leitgeraden $\begin{eqnarray*} (x_0 ; -\frac 1 {4a}) \end{eqnarray*}$ die Tangenten y = mx + d, welche der o.a. Berührbedingung genügen müssen:

$\begin{eqnarray*} -\frac 1 {4a} = mx_0 + d \ \to \ d = - \frac{1 + 4amx_0}{4a} \end{eqnarray*}$

Einsetzen in die Berührbedingung und Auflösen nach den beiden Steigungen m1, m2.
Dabei interessiert nicht jede Steigung für sich, sondern nur deren Produkt, welches bei orthogonalen Geraden $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ sein muss.

$\begin{eqnarray*} m^2 - 4ax_0m \color{red}- 1 \color{black}= 0 \end{eqnarray*}$

Lt. Vieta! (Satz über Linearfaktoren): Das Produkt der beiden Lösungen dieser normierten quadr. Gl. (Koeffizient von $\begin{eqnarray*} m^2 \end{eqnarray*}$ ist 1) ist gleich dem konstanten Glied (rot hervorgehoben)

--> $\begin{eqnarray*} m_1 \cdot m_2 = -1 \end{eqnarray*}$

Oder konventionell:

$\begin{eqnarray*} m_{1,2} = 2ax_0 \pm \sqrt{4a^2x_0^2 + 1} \end{eqnarray*}$

Das Produkt der beiden Lösungen ist - unter Anwendung einer binomischen Formel -

$\begin{eqnarray*} m_1 \cdot m_2 = -1 \end{eqnarray*}$
=============

Diesen Teil hast du allerdings nach eigenen Aussagen bereits auch bereits erledigt, deshalb war ich hier ausführlicher.
Nun muss noch die Gerade durch die Berührungspunkte gelegt und gezeigt werden, dass der Brennpunkt $\begin{eqnarray*} F(0; \frac 1 {4a}) \end{eqnarray*}$ auf ihr liegt.

Aus der Gleichung ganz oben*, in der die Diskriminante D = 0 gesetzt wurde, entnehmen wir auch gleichzeitig die x-Koordinaten der beiden Berührungspunkte $\begin{eqnarray*} T_1, T_2 \end{eqnarray*}$ :

(*) $\begin{eqnarray*} x_{1,2} = \frac{m \pm \sqrt{m^2 + 4ad}}{2a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1 = \frac{m_1}{2a} \ \ x_2 = \frac{m_2}{2a} \end{eqnarray*}$

Die y-Werte werden durch Einsetzen in die Parabelgleichung berechnet. Mit den beiden Punkten $\begin{eqnarray*} T_1, T_2 \end{eqnarray*}$ folgt die Steigung der Sekante [ $\begin{eqnarray*} m_s = 2ax_0 \end{eqnarray*}$ ], das kannst du selbst berechnen.
Zuletzt berechnest du die Steigung der Strecke $\begin{eqnarray*} T_1F \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} T_2F \end{eqnarray*}$ und solltest ebenfalls $\begin{eqnarray*} 2ax_0 \end{eqnarray*}$ erhalten.
Damit ist gezeigt, dass der Brennpunkt F auf dieser Sekante $\begin{eqnarray*} T_1T_2 \end{eqnarray*}$ liegt.
-----------

Anmerkung:
Die Sekante kann alternativ auch als Polare hinsichtlich des Pols P, welcher auf der Leitgeraden liegt, erstellt werden.
Die Sekantengleichung ist identisch mit der Tangentengleichung IN einem Punkt der Parabel, wenn anstatt der Koordinaten des Berührungspunktes jene des Pols eingesetzt werden.

mY+

21.05.2016, 12:04

Geometrius

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Wink

mYthos

Ganz herzlichen Dank für diese wunderbar ausführliche und vollständig nachvollziehbare Lösung respektive Hinweise zum weiteren Rechnen.

Gott

Gott

Beste Grüße!

23.05.2016, 15:54

willyengland

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Ich bin gerade im Buch
"Mathematische Appetithäppchen" von Erickson
darauf gestoßen, dass er dieses Problem dort behandelt.

Ich füge die zwei Seiten mal an.

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