Faktorring Z/Z?

16.05.2016, 10:52	z-Achse	Auf diesen Beitrag antworten »
Faktorring Z/Z? Meine Frage: Hallo Ich soll den Faktorring $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}/(2, 3) \end{eqnarray}$ bestimmen, wobei $\begin{eqnarray} (2, 3) \end{eqnarray}$ das von 2 und 3 erzeugte Ideal in $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ ist. Meine Ideen: Ist $\begin{eqnarray} (2, 3) \end{eqnarray}$ nicht eigentlich schon ganz $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ ? Denn jedes $\begin{eqnarray} z \in \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ kann man ja schreiben als $\begin{eqnarray} z = 1 \cdot z = (3 - 2)z = 2(-z) + 3z \in (2, 3) \end{eqnarray}$ . Stimmt das und ist $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}/(2, 3) \end{eqnarray}$ dann $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}/\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ ? Wenn ja, wie muss man sich das vorstellen? $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}/\mathbb{Z} = \{z + \mathbb{Z}: z \in \mathbb{Z}\} = \{\mathbb{Z}\} \end{eqnarray}$
16.05.2016, 11:37	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Anfang ist richtig, denn es gilt für Ideale $\begin{eqnarray} (a_1,...,a_r)\subset\mathbb Z: (a_1,...,a_r)=(ggT(a_1,...,a_r)) \end{eqnarray}$ , insbesondere ist $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ ein Hauptidealring. Aber $\begin{eqnarray} R/R=\{0\} \end{eqnarray}$ für jeden Ring . Denn $\begin{eqnarray} a+R=R \end{eqnarray}$ für jedes $\begin{eqnarray} a\in R \end{eqnarray}$ , also hat $\begin{eqnarray} R/R \end{eqnarray}$ nur ein Element, und das ist die Nullklasse. (Genau so für jede Gruppe)
16.05.2016, 12:33	z-Achse	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, ok, verstehe: $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} = 0 + \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ ist ja die Null im Faktorring $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}/\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ , dann passt $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}/\mathbb{Z} = \{0\} \end{eqnarray}$ .
16.05.2016, 13:10	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, und weil $\begin{eqnarray} 5678956+\mathbb Z=\mathbb Z \end{eqnarray}$ ist, gibt es nur eine Klasse. Man kann ja die ganzen Zahlen nach links und rechts beliebig verschieben, ohne etwas Neues zu finden.

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