(partielle) Differenzierbarkeit (in allen Punkten) im Mehrdimensionalen

16.05.2016, 16:15	aalquappe2	Auf diesen Beitrag antworten »
(partielle) Differenzierbarkeit (in allen Punkten) im Mehrdimensionalen Meine Frage: Hallihallo, Stehe vor folgenden Problem, daß ich von einer speziellen gegebenen, zweidimensionalen Funktion. Wie in den Guides gewünscht, hier erstmal die komplette Aufgabenstellung (nutze zum ersten mal LaTeX, versuche aber alle notwendigen Befehle zu finden): Sei $\begin{eqnarray} f: ~\mathbb R^2 \rightarrow ~\mathbb R \end{eqnarray}$ gegeben durch $\begin{eqnarray} f(x,y)= \end{eqnarray}$ (Fall 1) $\begin{eqnarray} y-x^2 : y ~\geq x^2 \end{eqnarray}$ (Fall 2) $\begin{eqnarray} y^2/x^2 - y : 0 \leq y < x^2 \end{eqnarray}$ , (Gilt für beides) $\begin{eqnarray} f (x,y) = -f (x,-y) \end{eqnarray}$ [Das mit der Fallunterscheidung durch "f(n)=\begin{cases}" hab ich nicht ganz hinbekommen] a) Zeigen Sie, daß f in jedem Punkt von $\begin{eqnarray} ~\mathbb R^2 \end{eqnarray}$ differenzierbar ist, aber im Ursprung nicht stetig partiell differenzierbar ist. -- Bemerkung: Somit ist die stetige partielle Differenzierbarkeit eine hinreichende aber nicht notwendige Bedingung fur die Differenzierbarkeit von f, vgl. folgenden Satz: Sei $\begin{eqnarray} U \subset ~\mathbb R^n \end{eqnarray}$ offen, und $\begin{eqnarray} f : U \rightarrow ~\mathbb R \end{eqnarray}$ stetig partiell differenzierbar, d.h., $\begin{eqnarray} \frac{\partial f}{\partial x_{k}}: U \rightarrow ~\mathbb R, k = 1, ... , n \end{eqnarray}$ , sind stetig. Dann ist $\begin{eqnarray} f : U \rightarrow ~\mathbb R \end{eqnarray}$ in U differenzierbar (Frechet-differenzierbar), und die Ableitungsfunktion $\begin{eqnarray} Df : U \rightarrow L(~\mathbb R^n, ~\mathbb R) \end{eqnarray}$ ist stetig. -- Hinweis : Verwenden Sie bei der Berechnung der partiellen Ableitungen folgenden Satz aus der Analysis 1: Sei $\begin{eqnarray} x_{0} \in (a, b) \end{eqnarray}$ . Ist $\begin{eqnarray} g : [a, b] \rightarrow R \end{eqnarray}$ stetig, differenzierbar in $\begin{eqnarray} (a, b) \ {x0} \end{eqnarray}$ und existiert der Grenzwert $\begin{eqnarray} lim_{x \rightarrow x0} g'(x) =: a \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ auch in $\begin{eqnarray} x_{0} \end{eqnarray}$ differenzierbar mit $\begin{eqnarray} g'(x_{0}) = a \end{eqnarray}$ . Das ist eine Folgerung aus dem Mittelwertsatz der eindimensionalen Differentialrechnung. Warum? -- b) Geben Sie eine Darstellung für die Tangentialebene an die Fläche $\begin{eqnarray} z=f(x,y), (x,y) \in ~\mathbb R^2 \end{eqnarray}$ im Punkt (1,1) an. Meine Ideen: Zum Spannenderen a) und da auch erstmal nur der erste Schritt (die Ideen, aber keine vollständigen Lösungen zum zweiten Teil habe ich zwar schon, wollte aber erstmal das erste Problem lösen) Hier unsere Definition zur Differenzierbarkeit: ---- Sei $\begin{eqnarray} U \subset ~\mathbb R^n \end{eqnarray}$ offen $\begin{eqnarray} f: U \rightarrow ~\mathbb R^m \end{eqnarray}$ Die Funktion f heißt in $\begin{eqnarray} x_{0} \in U \end{eqnarray}$ (total/Frechet)differenzierbar, wenn es eine lineare Abblidung $\begin{eqnarray} A_{x_{0}} \in L(~\mathbb R^n,~\mathbb R^m) \end{eqnarray}$ gibt mit der Eigenschaft: $\begin{eqnarray} lim(x \rightarrow x_{0} , x \neq x_{0}) \frac{\|\| f(x)-f(x_{0})- A_{x_{0}} \|\|}{\|\| x - x_{0} \|\|} = 0 \end{eqnarray}$ ---- Dazu kommen einige Äquivalenzen, wie die Differenzierbarkeit von f in $\begin{eqnarray} x_{0} \in U \end{eqnarray}$ differenzierbar ist, wenn f in $\begin{eqnarray} x_{0} \end{eqnarray}$ stetig ist. Daran würde ich ansetzen indem ich die Annäherung vom Extremfall von Fall 1 y= x^2 in Fall 2 einsetze. Dann hätten wir relativ übersichtlich: $\begin{eqnarray} \frac{x^4}{x^2}-x^2 = x^2-x^2 = 0 \end{eqnarray}$ für x ungleich 0, per Definition von Fall 2 (Division durch 0 [wahrscheinlich hilfreich beim zweiten Teil von a bzgl. Ursprung]) Damit wäre der Grenzwert von Fall 1 und Fall 2 identisch, da auch klar ist: $\begin{eqnarray} x^2-x^2=0 \end{eqnarray}$ sogar ohne Ausnahme, da keine Division durch 0 in Fall 1. Argumentation für die restliche Menge (Also x^2 ungleich y) $\begin{eqnarray} ~\mathbb R \end{eqnarray}$ : Sind Polynome, Polynome sind differenzierbar. Ist das (beides) so einfach möglich oder übersehe ich da was? --- Sollte ich bis hier her richtig liegen, kann ich gerne die Ideen für den zweiten Teil noch posten, wollte das Problem aber erstmal Stück für Stück abarbeiten. [Ich hoffe ich hab nichts in den Bedingungen oder Einleitfäden übersehen, aber ich kann mich zwar in meinen Acc einloggen, aber weder schreiben noch Threads eröffnen, weiß nicht ob ich da was kaputt gemacht hab ^^, daher nur über die Gastfunktion, obwohl ich mich gestern angemeldet hatte] mfG aalquappe

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