Induktionsbeweis - konvexe Menge

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Xyarvius Auf diesen Beitrag antworten »
Induktionsbeweis - konvexe Menge
Meine Frage:
Hallo, ich habe hier wieder mal eine interessante Aufgabe (siehe Anhang).

Meine Ideen:
Zu Aufgabe (2) würde ich sagen, dass die Vereinigung zweier konvexer Mengen nicht immer auch eine konvexe Menge ergibt. Rein geographisch könnte man z.B. zwei Kugeln im betrachtet die sich nicht überschneiden. Die Vereinigung dieser Kugeln wäre dann schon nicht mehr abgeschlossen (wobei "Abgeschlossenheit" hier die falsche Wortwahl ist). Da kann sie auch nicht konvex sein.

Bei Aufgabe (1) komme ich noch nicht so richtig voran. Man hat hier ja eine konvexe Menge gegeben, also vermute ich, dass dabei die Eigenschaft einer konvexen Menge eine Rolle spielt.
M ist die konvexe Menge als gilt ja:
mit .

Mir fällt auf, dass das aus der Menge dem aus der Definition recht ähnlich sieht. Aber damit komme ich auch nicht weiter.

Habt ihr Lösungsansätze und Tipps?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das Gegenbeispiel zu (2) ist in Ordnung, denn die Verbindungsstrecke zwischen den Mittelpunkten zweier disjunkter Kugeln liegt nicht in der Vereinigung der Kugeln. Noch einfacher sind zwei verschiedene Punkte, denn auch deren Verbindungsstrecke liegt nicht in der Vereinigung der 2 Punkte (und die Dimension kann man dann gleich 1 wählen).

Zu (1) : Die Definition einer konvexen Menge ist der Induktionsanfang für n=1. Noch einfacher wäre der Induktionsanfang mit n=0, denn ein Punkt ist konvex. Du musst "nur noch" den Induktionsschluss machen.
Xyarvius Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, also sage ich im Induktionsanfang:
Sei n=0:

In der Induktionsvoraussetzung gelte die Behauptung (siehe Aufgabe) für ein n.
Im Induktionsschritt sage ich dann:


Jetzt wirds haarig. Wie gehe ich vor um zu zeigen, dass auch die Menge in M enthalten ist? Uff. verwirrt
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