Regel von de l’Hospital

16.05.2016, 20:20

Felix1

Regel von de l’Hospital

Hey, ich habe (mal wieder) ein kleines Problem mit einer Übungsaufgabe.

Es geht darum einen Grenzwert mit Hilfe der Regel von de l’Hospital auszurechnen.
Eig. bin ich mit den Aufgaben bisher ganz gut klargekommen, diese hier bereitet mir allerdings Schwierigkeiten:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \frac{\pi }{2} }(\tan(x))^{\cot(x)} \end{eqnarray*}$

Die Tatsache, dass ich keinen Bruch habe ist schonmal die erste Herausforderung, deswegen habe ich versucht es umzuformen nach:
$\begin{eqnarray*} e^{\lim_{x \to \frac{\pi }{2} }\tan(x)*\cot(x)} \end{eqnarray*}$

Jetzt sollten ja folgende beiden Brüche möglich sein (Ich lasse das e erstmal außen vor, damit es leichter lesbar ist und beschränke mich nur auf den Grenzwert):
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \frac{\pi }{2} } \frac{\ln(\tan(x))}{\frac{1}{\cot(x)} } \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \frac{\pi }{2} } \frac{\cot(x)}{\frac{1}{\ln(\tan(x))} } \end{eqnarray*}$

Ist das bis hierhin überhaupt richtig? Ab hier komme ich nicht wirklich weiter. Angenommen ich gehe von dem zweiten Bruch aus und leite beide Funktionen ab, dann komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \frac{\pi }{2} }\frac{\frac{-1}{\sin(x)^{2} } }{-\frac{1+\tan(x)^{2}}{\ln(\tan(x))^{2}*\tan(x)} } \end{eqnarray*}$
, wenn ich bei dem anderen Bruch ansetze bin ich auch nicht wirklich erfolgreich.

Hoffe mir kann da jemand einen Tipp geben, wie man da am besten vorgeht. Eventuell gibts da auch irgendwelche trigonometrischen Formeln mit denen sich das ganze schon vorher vereinfachen lässt?!

Grüße smile

16.05.2016, 20:29

Felix1

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Grade als ich den Beitrag abgeschickt habe fällt mir auf, dass der erste Bruch nicht geeignet ist für die Regel von l'Hospital, da Zähler und Nenner nicht beide gg. 0 bzw +/- unendlich laufen.

Beim zweiten Bruch bin ich mir unsicher wie es da aussieht. Sowie ich das sehe sollten sowohl Zähler als auch Nenner gegen 0 laufen.

Der Limes ist übrigens ein linksseitiger Grenzwert (konnte ich im Formeleditor leider nicht richtig darstellen).

16.05.2016, 20:35

FeIix1

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Okay so langsam wirds peinlich Hammer