Allgemeine Lösung für Ungleichungen

17.05.2016, 00:34

DrInkognito

Allgemeine Lösung für Ungleichungen

Meine Frage:
Hallo, ich habe eigentlich zwei Fragen.

Zunächst mal hab ich vorhin folgende Beweisaufgabe bearbeitet:

Beiweisen Sie:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2} \end{eqnarray*}$ für alle positiven $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Ich bin zu folgendem Lösungsweg gekommen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow 2\sqrt{ab} \leq a+b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow 0 \leq a-2\sqrt{a}\sqrt{b}+b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow 0 \leq (a-b)^{2} \end{eqnarray*}$

Wenn a-b negativ ist, dann ist (a-b)^2 automatisch positiv.
Für a-b positiv oder null ist (a-b)^2 auch positiv oder null.

Also q.e.d.

Wäre dieser Lösungsweg richtig?
Denn nun komm ich zu meiner zweiten Frage, die mich nun seit paar Stunden jagt.
Inwiefern unterscheidet sich nämlich der obere Lösungsweg zu der folgenden hypothetischen Lösung zu einer hypothetischen Aufgabe, die hypothetisch falsch ist?

Seien A,B beliebige Terme.
Zeigen Sie:

$\begin{eqnarray*} A \leq B \end{eqnarray*}$

Beweis:

$\begin{eqnarray*} A \leq B \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow 0 \leq A - B \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow 0 \leq (A-B)^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (A-B) \geq 0 \Rightarrow (A-B)^{2} \geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (A-B) < 0 \Rightarrow (A-B)^{2} > 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 0 \leq (A-B)^{2} \end{eqnarray*}$ wahr

Danke smile

Meine Ideen:
Also das einzige was ich unten anders als oben sehe, ist dass ich beide Seiten mit dem rechten Ausdruck multipliziert habe. Wobei ich nicht sehe inwiefern ich da was falsch mache... ich weiß aber natürlich dass es falsch ist, sonst wäre jeder Term kleiner oder gleich als jeder andere...

17.05.2016, 00:36

DrInkognito

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Sorry, das obere Binom soll natürlich
$\begin{eqnarray*} (\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2} \end{eqnarray*}$
geworden sein.

17.05.2016, 02:54

Dopap

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RE: Allgemeine Lösung für Ungleichungen

Zitat:

Original von DrInkognito
Seien A,B beliebige Terme.
Zeigen Sie:

$\begin{eqnarray*} A \leq B \end{eqnarray*}$

Beweis:

$\begin{eqnarray*} A \leq B \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow 0 \leq A - B \end{eqnarray*}$

wieso ?

17.05.2016, 07:50

allahahbarpingok

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Das Quadrieren einer Gleichung ist nur in betimmten Fällen eine Äquivalenzumformung, hier nicht.

17.05.2016, 08:34

DrInkognito

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Ahaa verstehe...
Zuerst hab ich gedacht, ich hätte gar nicht die ganze Gleichung quadriert, sondern nur mit dem rechten Term multipliziert, wobei das trotzden als "komplette Gleichung quadrieren" gilt, wenn an beiden Seiten dadurch das selbe Ergebnis rauskommt?

18.05.2016, 09:13

Matt Eagle

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Oft ist es ungünstig mit der zu beweisenden Gleichung/Ungleichung loszulegen und diese so lange vermeintlichen Äquivalenzumformungen zu unterziehen, bis man irgendwie bei einer wahren Aussage landet.

Deine Rechnung offenbart doch, dass die (für alle nicht negativen $\begin{eqnarray*} a,b\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ ) gültige Aussage:

$\begin{eqnarray*} \left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\geq 0 \end{eqnarray*}$

ein guter Ausgangspunkt ist.

Aus dieser gültigen Aussage kannst Du nun die zu beweisende Aussage folgern - und zwar ganz ohne Äquivalenzumformungen.

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