Für welche Werte a,b,u,v durchstößt die Gerade die Ebene rechtwinklig in einem bestimmten Punkt?

17.05.2016, 11:30

ferkel20

Für welche Werte a,b,u,v durchstößt die Gerade die Ebene rechtwinklig in einem bestimmten Punkt?

Gegeben ist die Ebene :
E: (1;1;1)+r(1;2;3)+s(2;3;1)

Die Gerade:
g : (11;a;b)+t(u;1;v)

Punkt :
P=(4;6;5)

Mein Ansatz:

Einen Rechtwinkligen Durchstoß, gibt es wenn das Skalarprodukt, einer der Richtungsvektoren der Ebene und Richtungsvektor Gerade = 0 ergibt.

Richtungsvektoren der Ebene a und b sowie Richtungsvektor der Gerade c

a*c=0
b*c=0

Gleichungssystem gelöst und u = -2.2 und v=1.4 ausgerechnet.

ab hier hakt es bei mir ... der Durchstoßpunkt muss ja auf der Geraden liegen also habe ich den Punkt und die Gerade gleichgesetzt und damit a und b ausgerechnet. Habe allerdings keine "schönen" Zahlen herausbekommen und denke die Lösung ist falsch... jedenfalls sind meine Lösungen :

a = 2.82
b = 0.55
u = -2.2
v = 1.4

Könnte mir jemand helfen ? Ist mein Ansatz korrekt ?

17.05.2016, 16:09

klauss

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RE: Für welche Werte a,b,u,v durchstößt die Gerade die Ebene rechtwinklig in einem bestimmten Punkt?
Skalarprodukt und Gleichungssystem braucht man hier eigentlich nicht.

Für den Richtungsvektor der Geraden gilt, dass dieser kollinear zum Normalenvektor $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ der Ebene sein muß. $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ kannst Du mit dem Kreuzprodukt berechnen, aus dem Zusammenhang zwischen den 2. Komponenten von $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ und (u;1;v) folgt direkt die Belegung von u und v.

Sodann muß gelten
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 11 \\ a \\ b \end{pmatrix} +t \begin{pmatrix} ? \\ 1 \\ ? \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Die Fragezeichen ersetzt Du mit den im vorherigen Schritt ermittelten Werten u, v.
Der notwendige Wert von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ folgt nun wiederum aus der 1. Zeile der Vektorgleichung. Danach sind die beiden anderen Zeilen nach a und b aufzulösen.

P.S.:
u und v sind Brüche, a und b sind ganzzahlig.

Bestätigung durch Graphik:

17.05.2016, 19:47

Bjoern1982

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Zitat:

Sodann muß gelten
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 11 \\ a \\ b \end{pmatrix} +t \begin{pmatrix} ? \\ 1 \\ ? \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Die Fragezeichen ersetzt Du mit den im vorherigen Schritt ermittelten Werten u, v.

Das hatte er offenbar ja auch schon so gemacht:

Zitat:

der Durchstoßpunkt muss ja auf der Geraden liegen also habe ich den Punkt und die Gerade gleichgesetzt und damit a und b ausgerechnet.

@ferkel20

Deine Gedanken sind völlig richtig, du hast dich schlicht beim ersten LGS mit u und v verrechnet.
Zu lösen ist:

Zitat:

u + 3v = -2
2u + v = -3

Probiere es noch einmal und/oder poste ggf. deinen Rechenweg.
Was rauskommen muss, kannst du ja z.B. hiermit testen:

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scrip...ungssysteme.htm

17.05.2016, 20:30

ferkel20

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Habs nochmal durchgerechnet vielen dank für die Hilfe!

Hab für die Gerade jetzt :

g: (11;1;6)+t(-7/5;1;-1/5)

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