Fläche im Raum berechnen

Neue Frage »

17.05.2016, 11:53	Mathebeginner	Auf diesen Beitrag antworten »
Fläche im Raum berechnen Meine Frage: Hallo die Aufgabe hänge ich im Bild an. Meine Ideen: Ich habe das Flächendifferential mal soweit : $\begin{eqnarray} dA=\| \vec{r}'(u,v)_u\times \vec{r}'(u,v)_v \| dudv<br /> =\|\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\v \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ u \end{pmatrix}\| dudv<br /> =\sqrt{(u-v)^2+(-(u+v))^2+2^2}dudv =\sqrt{2}\sqrt{u^2+v^2+2}dudv \end{eqnarray}$ Für das FlächenIntegral habe ich dann $\begin{eqnarray} FB=\int_{B}^{} \! \, \int_{}^{} \! \, dA <br /> =\int_{0}^{1} \! \, du \int_{0}^{\sqrt{1-u^2} } \! \sqrt{2}\sqrt{u^2+v^2+2} \, dv \end{eqnarray}$ für die Grenzen habe ich benutzt das der Radius 0<=u<=1 und für die den kreisinhalt u^2+v^2<=1 dann ist v <=Wurzel(1-u^2) . Passt das mal so weit ? Wenn ja dann brauche ich das Nur noch ausrechnen stimmt das ? Danke !
17.05.2016, 16:17	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es stimmt fast. Ganz zum Schluß hast du die Integrationsgrenzen falsch gesetzt: $\begin{align} u \end{align}$ geht von -1 bis 1 und $\begin{align} v \end{align}$ geht von $\begin{align} - \sqrt{1-u^2} \end{align}$ bis $\begin{align} \sqrt{1-u^2} \end{align}$ . Der Denkfehler beruht wohl darauf, daß du $\begin{align} u \end{align}$ für den Radius des Einheitskreises gehalten hast. $\begin{align} u \end{align}$ ist jedoch die erste Koordinate eines Punktes im Einheitskreis, $\begin{align} v \end{align}$ die zweite. Du kannst deine Integrationsgrenzen lassen. Dann integrierst du allerdings nur über den Viertelkreis im I. Quadranten. Da der Integrand $\begin{align} \sqrt{2} \cdot \sqrt{u^2 + v^2 + 2} \end{align}$ invariant gegenüber Vorzeichenänderungen bei $\begin{align} u \end{align}$ und $\begin{align} v \end{align}$ ist, mußt du den Integralwert dann jedoch vervierfachen: $\begin{align} \text{Flächeninhalt} = \color{red} 4 \cdot \color{black} \int_0^1 \int_0^{\sqrt{1-u^2}} \sqrt{2} \cdot \sqrt{u^2 + v^2 + 2} ~ \dd v ~ \dd u \end{align}$ Zur Berechnung des Integrals würde ich hier jedoch Polarkoordinaten empfehlen: $\begin{align} u = r \cos t \, , v = r \sin t \end{align}$ . Und da ist dann $\begin{align} r \end{align}$ ein Kreisradius - und der geht von 0 bis 1.
17.05.2016, 16:46	Mathebeginner1	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Leopold danle für deine Antwort erstmals : Ich sehe schon was Mein Fehler bzw Ungenauigkeit war ,danke ! Das ich mich nun nicht selbst verwirre , wenn ich auf die Polarkoordianten Umsteige was dann leichter ist zum rechnen nehm ich an ,was muss ich dann umändern ? Ich werde wohl u =rcost und v=rsint ind r(u,v) einsetzen müssen . und dA=dudv war als drdt so in etwas .
17.05.2016, 17:09	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei Polarkoordinaten gilt: $\begin{align} \dd u ~ \dd v = r ~ \dd r ~ \dd t \end{align}$ $\begin{align} r \geq 0 \end{align}$ ist der Abstand eines Punktes $\begin{align} P=(u,v) \end{align}$ vom Ursprung $\begin{align} O \end{align}$ und $\begin{align} t \in [0,2\pi] \end{align}$ (oder ein anderes Intervall der Länge $\begin{align} 2 \pi \end{align}$ ) ist der Winkel, der überstrichen wird, wenn man die positive $\begin{align} u \end{align}$ -Achse auf den Strahl $\begin{align} OP \end{align}$ dreht.
17.05.2016, 17:36	Mathebeginner1	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke leopold : $\begin{eqnarray} 4\sqrt{2} \int_{0}^{1} \! \, dr \int_{0}^{2\pi } \! r\sqrt{r^2(\sin(t)^2+\cos(t)^2)+2 } \, dt \end{eqnarray}$ sieht das dann so aus ?
17.05.2016, 17:56	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier ist der Faktor $\begin{align} 4 \end{align}$ zu viel. Da der Winkel von $\begin{align} 0 \end{align}$ bis $\begin{align} 2 \pi \end{align}$ läuft, wird jeder Quadrant erfaßt. Und natürlich kann man noch stark vereinfachen: $\begin{align} \sin^2 t + \cos^2 t = \ldots \end{align}$
Anzeige

17.05.2016, 17:59	Mathebeginner1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok danke . Die Vereinfachungen Kenne ich bzw kann das dann alleine ausrechnen . Danke vielmals !
17.05.2016, 18:05	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Zur Kontrolle das Ergebnis: $\begin{align} \frac{2}{3} \sqrt{2} \, \pi \left( 3 \sqrt{3} - 2 \sqrt{2} \right) \end{align}$
17.05.2016, 18:10	Mathebeginner1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok Super das habe ich rausbekommen , nochmals vielen Dank !

Neue Frage »

Antworten »

Fläche im Raum berechnen

Verwandte Themen