Determinante

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ThomasBerlin Auf diesen Beitrag antworten »
Determinante
Meine Frage:
[attach]41661[/attach]

Meine Ideen:
Da


und aus folgt
, d.h A ist eine orthogonale Matrix.

Zu orthogonalen Matrizen weiß ich, dass die Determinante einer solchen immer Betrag von 1 ergibt.
Für die Determinante der Einheitsmatrix gilt: det=1

Mehr fällt mir dazu leider nicht ein!
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Tipp: Die Eigenwerte einer Matrix sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms.
 
 
ThomasBerlin Auf diesen Beitrag antworten »
Determinante
Tut mir Leid, aber das hilft mir irgendwie nicht weiter.
Ich habe mir jetzt mal ein Beispiel gemacht:

Die Matrix ist sowohl orthogonal und .

Wenn ich nun bilde, kommt bei mir 0 heraus.

Jetzt ist bloß die Frage, ob das immer so ist.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinante
Zitat:
Original von ThomasBerlin
Jetzt ist bloß die Frage, ob das immer so ist.

Wäre das nicht so, wären ja alle vier Antwortmöglichkeiten falsch. Also wird das schon stimmen. Augenzwinkern

Wie ist denn das charakteristische Polynom einer Matrix definiert?
ThomasBerlin Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinante
Das ist definiert duch . Hab ich jetzt aus Wikipedia.
Da wir in unserer Vorlesung noch nichts zu Eigenwerten hatten.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, wenn ihr in der Vorlesung noch nichts zu Eigenwerten hattet, ist mein Weg vielleicht doch nicht geeignet. Da bräuchte man noch, dass die Determinante das Produkt der Eigenwerte ist und dass eine orthogonale Matrix nur die reellen Eigenwerte haben kann.

Etwas anderes fällt mir aber auch gerade nicht ein.
Wir können aber trotzdem gern weitermachen, wenn du möchtest. Vielleicht meldet sich ja auch noch jemand mit einem anderen Weg.

Du hast also das charakteristische Polynom und in der Aufgabe den Ausdruck . Fallen dir da Ähnlichkeiten auf (z.B. was man für einsetzen muss, damit man auf den Term in der Aufgabe kommt)?
ThomasBerlin Auf diesen Beitrag antworten »
Determinante
Also für komme ich auf den gleichen Term.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

muss ein Skalar sein (also eine reelle oder komplexe Zahl).

Vielleicht vorher noch eine kleine Umformung: . Jetzt sollte es offensichtlich sein. Augenzwinkern
(Den Faktor lässt du einfach erstmal stehen, um den kümmern wir uns später.)

(Abgesehen davon darf man diese Bruchschreibweise bei Matrizen nicht verwenden. Das liegt daran, dass Matrixmultiplikation nicht kommutativ ist: ist etwas anderes als . Woher soll man jetzt bei wissen, welches von beiden gemeint ist?)
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von 10001000Nick1
Wir können aber trotzdem gern weitermachen, wenn du möchtest. Vielleicht meldet sich ja auch noch jemand mit einem anderen Weg.


Hi Wink

schaut euch mal an.
ThomasBerlin Auf diesen Beitrag antworten »
Determinante
Ok danke für den Hinweis.
Nach deiner Umformung muss sein.
Was heißt da jetzt?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinante
Zitat:
Original von ThomasBerlin
Also für komme ich auf den gleichen Term.


Das ist eine formale Rechnung ohne Sinn. Matrizen kann man im gewöhnlichen Sinn nicht durcheinander dividieren. Selbst wenn man die Division als Multiplikation mit der inversen Matrix auffaßte, wäre das Ergebnis wieder eine Matrix und kein Skalar.

Wenn man verschiedene Eigenschaften der Determinante und des Transponierens ins Spiel bringt, kommt man relativ schnell auf das Ergebnis. Ich zähle einmal auf ( seien quadratische Matrizen gleicher Spaltenzahl, sei die Einheitsmatrix):











Und jetzt zur Aufgabe. Mit mehrfacher Anwendung von folgt:



Ok, soweit warst du schon. Jetzt kommt noch die Voraussetzung ins Spiel. Mit Hilfe von folgt:



Und weil wir schon haben, heißt das

Jetzt betrachte die Gleichung



Wende darauf die Determinante an und beachte die Regeln bis , um auf der rechten Seite wieder den Term zu gewinnen.
ThomasBerlin Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinante
Also



Jetzt hänge ich leider wieder unglücklich
ThomasBerlin Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinante
ThomasBerlin Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinante
???
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das kommt davon, wenn man Teile der Aussage unter den Tisch fallen läßt, vermutlich aus Bequemlichkeit. Jetzt weißt du selbst nicht mehr, was du da eigentlich berechnet hast. Selber schuld ...
ThomasBerlin Auf diesen Beitrag antworten »
Determinante
Du hast doch gesagt ich soll bei die Determinante anwenden und dann umformen verwirrt
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt nochmal langsam:
Oben steht, dass .
Also ist auch .
Du hast gezeigt, dass die rechte Seite der Gleichung gleich ist (in deinem Beitrag von 16:02 fehlt ein Vorzeichen, sonst stimmt das).

Du hast also . Und die einzige Zahl, die gleich ihrem negativen ist, ist ...?
ThomasBerlin Auf diesen Beitrag antworten »
Determinante
Achso er hat gemeint ich hab die linke Seite der Gleichung vergessen.

Zu der Frage wäre die Antwort 0, wobei es da ja kein positiv oder negativ gibt.

Ok und das ist also die komplette Begründung...Danke für die Geduld.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Gerne. Wink
Wenn ihr Eigenwerte in der Vorlesung hattet, kannst du ja auch nochmal über meinen Ansatz nachdenken. Augenzwinkern
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinante
Zitat:
Original von ThomasBerlin
Achso er hat gemeint ich hab die linke Seite der Gleichung vergessen.


Hat er gemeint ... Augenzwinkern
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