Bedingte Wahrscheinlichkeit P(A|B) eindeutig bestimmt durch P(C|B)

17.05.2016, 18:21

Shalec

Bedingte Wahrscheinlichkeit P(A|B) eindeutig bestimmt durch P(C|B)

Hallo,

ich bin unsicher, was diese Aufgabe von mir abverlangt.
Zunächst die Aufgabe, in Kurzform (Ich hoffe, dass die Auflistung eindeutig ist): $\begin{eqnarray*} (\Omega,\mathcal A, \mathbb P) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} A,B\in \mathcal A, C\in\mathcal A, C\subseteq B \end{eqnarray*}$ Dann ist $\begin{eqnarray*} \mathbb P (A|B) \end{eqnarray*}$ eindeutig durch $\begin{eqnarray*} \mathbb P (C|B) \end{eqnarray*}$ definiert.

Dazu habe ich zunächst $\begin{eqnarray*} \mathbb P (C|B) \frac{\mathbb P(C\cap B) }{\mathbb P(B)} = \frac{\mathbb P(C)}{\mathbb P(B)} \end{eqnarray*}$ umgeformt und das Ergebnis dann in
$\begin{eqnarray*} \mathbb P(A|B) = \frac{\mathbb P(A\cap B)}{\mathbb P(B)} = \frac{\mathbb P(A\cap B) \mathbb P(C|B) }{\mathbb P(C)} \end{eqnarray*}$ eingesetzt.

Dieser Ausdruck ist von B nahezu unabhängig. Aber irgendwie fehlt mir hier ein wenig der Durchblick, was genau zu zeigen ist. Ich habe "einfach mal gemacht" :/

Viele Grüße und danke

17.05.2016, 18:25

HAL 9000

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Zitat:

Original von Shalec
Dann ist $\begin{eqnarray*} \mathbb P (A|B) \end{eqnarray*}$ eindeutig durch $\begin{eqnarray*} \mathbb P (C|B) \end{eqnarray*}$ definiert.

Was soll das denn bedeuten? Dass $\begin{eqnarray*} \mathbb P (A|B) \end{eqnarray*}$ gar nicht von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ abhängt? Unsinn! unglücklich

17.05.2016, 20:52

Shalec

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von Shalec
Dann ist $\begin{eqnarray*} \mathbb P (A|B) \end{eqnarray*}$ eindeutig durch $\begin{eqnarray*} \mathbb P (C|B) \end{eqnarray*}$ definiert.

Was soll das denn bedeuten? Dass $\begin{eqnarray*} \mathbb P (A|B) \end{eqnarray*}$ gar nicht von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ abhängt? Unsinn! unglücklich

Nein, das soll etwas anderes bedeuten.
"[...] sind die auf B bedingten Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse $\begin{eqnarray*} A\in\mathcal A \end{eqnarray*}$ bereits festgelegt durch die bedingten Wahrscheinlichkeiten $\begin{eqnarray*} \mathbb{P}(C|B) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} C\subseteq B \end{eqnarray*}$ [...]" (vgl. Satz 4.4, S. 28 http://www.math.uni-bremen.de/~dickhaus/...kript-stoch.pdf )

Viele Grüße smile

17.05.2016, 20:58

HAL 9000

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Da du den wichtigen All-Quantor bzgl. C weggelassen hast, musst du dich nicht wundern, wenn die Aussage verstümmelt rüberkommt. Finger2

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