Periodische Randbedingungen

17.05.2016, 20:37

kaffeeinjektion

Periodische Randbedingungen

Meine Frage:
Hallo, in unserer Vorlesung haben wir Folgendes aufgeschrieben, bei dem ich nicht ganz mitkomme:

Betrachte $\begin{eqnarray*} \mathcal{L}=\partial_{xx}+c\partial_x +a \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} [-L,L] \end{eqnarray*}$ mit periodischen Randbedingungen.

Die charakteristische Gleichung der ODE $\begin{eqnarray*} \mathcal{L}u=\lambda u \end{eqnarray*}$ lautet

$\begin{eqnarray*} v^2+cv+a-\lambda=0 \end{eqnarray*}$ .

Diese hat zwei Lösungen, die wir $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_2 \end{eqnarray*}$ nennen. Die allgemeine Lösung lautet somit
$\begin{eqnarray*} u=c_1e^{v_1 x}+c_2 e^{v_2x} \end{eqnarray*}$

Aus den Randbedingungen erhalten wir

$\begin{eqnarray*} c_1+c_2=c_1e^{2Lv_1}+c_2e^{2Lv_2} \end{eqnarray*}$ sowie
$\begin{eqnarray*} v_1c_1+v_2c_2=v_1c_1e^{2Lv_1}+v_2c_2e^{2Lv_2} \end{eqnarray*}$

Wie bekommt man diese beiden Gleichungen?

Meine Ideen:
Ich nehme an, die Randbedingungen sollen sein

$\begin{eqnarray*} u(-L)=u(L) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} u_x(-L)=u_x(L) \end{eqnarray*}$ .

17.05.2016, 22:51

10001000Nick1

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RE: Periodische Randbedingungen

Zitat:

Original von kaffeeinjektion
Meine Ideen:
Ich nehme an, die Randbedingungen sollen sein

$\begin{eqnarray*} u(-L)=u(L) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} u_x(-L)=u_x(L) \end{eqnarray*}$ .

Das sind nur zwei "Kompatibilitätsbedingungen", damit die Randbedingungen überhaupt periodisch sein können.
Das allein sagt aber noch nichts über die $\begin{eqnarray*} 2L \end{eqnarray*}$ -Periodizität aus. Diese kannst du z.B. mit " $\begin{eqnarray*} u(x+2L)=u(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_x(x+2L)=u_x(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ " ausdrücken. Und für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ ergeben sich daraus die beiden Gleichungen.

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