Homogene Differentialgleichung erster Ordnung

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cmplx96 Auf diesen Beitrag antworten »
Homogene Differentialgleichung erster Ordnung
Hallo zusammen,

ich habe Probleme mit zwei DGL's erster Ordnung.

Sie lauten:

und


Meine Ideen:

Ich habe es in beiden Fällen mit der Substitution versucht, da man die Variablen soweit ich weiß nicht trennen kann (da es Terme wie xy bzw xy² gibt).
Im ersten Fall habe ich es mit und versucht, jedoch ohne Erfolg.
Im zweiten Fall habe ich es mit versucht, jedoch ist mir dann beim auflösen nach y eine Wurzel um die Ohren geflogen, die das ganze auch nicht einfacher macht.

Ich freue mich auf eure Antworten, danke schonmal!
grosserloewe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Homogene Differentialgleichung erster Ordnung
Wink

Hallo,

ich sehe 2 Lösungsmöglichkeiten

a) als exakte DGL mit integrierendem Faktor (sind beide nicht exakt) oder

b )mittels Substitution

z=y/x
cmplx96 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort!
Gilt die Substitution für beide DGL's?
Ich habe es jetzt erstmal mit der ersten versucht und komme leide nicht weiter.

Hier kriege ich die Variablen z und x nie getrennt.
grosserloewe Auf diesen Beitrag antworten »

:wink

das stimmt leider nicht.

Zur 1. Aufgabe:







Das setzt Du in die Aufgabe ein und bekommst:

dx

Diese Integrale sind leicht zu berechnen.

Zu Aufgabe 2)

das geht nicht mit Substitution

Hier mußt Du einen integr. Faktor berechnen, dieser ist :




smile
cmplx96 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Hilfe!
Kannst du mir sagen, woran du gesehen hast, dass die zweite nicht mit Substitution gelöst werden kann?
Und du die richtige Substitution bei der ersten gesehen hast?
Gibt es da Faustregeln?
grosserloewe Auf diesen Beitrag antworten »

Wink

1.)Kannst du mir sagen, woran du gesehen hast, dass die zweite nicht mit Substitution gelöst werden kann?

durch Einsetzen von z=y/x . Das kann nicht getrennt werden.

2.) Und du die richtige Substitution bei der ersten gesehen hast?

Deine Substitution z=x*y ist auch richtig . Beide Substitutionen führen zum Ziel.
 
 
cmplx96 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay danke smile
cmplx96 Auf diesen Beitrag antworten »

noch eine Frage:
bei der ersten komme ich am Ende zu der Gleichung:

ist es richtig, dann so vorzugehen:
?
Da kann man dann ja schlecht rücksubstituieren, da man immer mehrere y in der Gleichung hat:

grosserloewe Auf diesen Beitrag antworten »

Wink

Mit welcher Substitution hast Du gerechnet?
cmplx96 Auf diesen Beitrag antworten »

mit
grosserloewe Auf diesen Beitrag antworten »

Wink


die linke Seite stimmt , Deine rechte Seite ist falsch , ich habe erhalten:

cmplx96 Auf diesen Beitrag antworten »

upsala, ja das habe ich auch erhalten.
ich hatte da schon den nächsten schritt gemacht, um z zu isolieren. mein fehler.
aber wieso hast du ?
die rechte seite wird doch über x integriert oder?

wie läuft dann die rücksubstitution?
grosserloewe Auf diesen Beitrag antworten »

Wink

Sorry , ein Abschreibfehler , habs geändert.

Jetzt mußt Du für z= y/x ersetzen und versuchen nach y umzustellen.
Wenn das nicht möglich ist , kannst Du das Ergebnis auch in impliziter Darstellung stehen lassen.
cmplx96 Auf diesen Beitrag antworten »

okay, dann lasse ich es in impliziter darstellung stehen.
nochmal zum integrierenden faktor µ:
wenn man µ an P und Q dranmultipliziert, wird die DGL zu einer expliziten, die ableitung von p nach y und die ableitung von q nach x gleich sind.
aber wie löse ich dann die dgl?
grosserloewe Auf diesen Beitrag antworten »

Wink

aber wie löse ich dann die dgl? (Nach Ermittlung des Int. Faktors)









dann nach ableiten und = Q setzen

und integrieren.

Lösung:



smile
cmplx96 Auf diesen Beitrag antworten »

vielen dank! smile
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