Methode der kleinsten Quadrate

17.05.2016, 20:18	cmplx96	Auf diesen Beitrag antworten »
Methode der kleinsten Quadrate Hallo zusammen, ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter. Gegeben sind Messpunkte $\begin{eqnarray} (t_{i};y_{i}) \end{eqnarray}$ für i = 1,...,4: (1;10), (2;12), (3:26), (4;16). Gesucht sind die überbestimmten Gleichungssysteme für die unbekannten Parameter a und b, wenn folgende Beziehung zwischen y und t gelten: (1) y = a (2) y = a+bt Außerdem sollen die Parameter nach der Methode der kleinsten Quadrate bestimmt werden. Meine Ideen: für (2) würde ich so vorgehen: y(1) = a + b1 soll sein 10 y(2) = a + b2 soll sein 12 y(3) = a + b3 soll sein 26 y(4) = a + b4 soll sein 16 Daraus würde ich die Matrix A aufstellen, mit $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und den Vektor b mit $\begin{eqnarray} b = \begin{pmatrix} 10 \\ 12 \\ 26 \\ 16 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Mit der Formel: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = (A^{T}A)^{-1} \cdot A^{T}b \end{eqnarray}$ kann man die Parameter dann bestimmen. Was ist jetzt aber, wenn man wie bei (1) t garnicht einsetzen kann? Sieht A dann folgendermaßen aus? $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \\ 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ In dem Fall wäre $\begin{eqnarray} A^{T}A \end{eqnarray}$ nämlich $\begin{eqnarray} M = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und für diese Matrix existiert ja garkeine Inverse. Wie kann man das angehen? Danke im Voraus!
17.05.2016, 20:54	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Methode der kleinsten Quadrate Bei (1) hast du nur eine Unbekannte. Deine Matrix hat also nur eine Spalte
17.05.2016, 21:07	cmplx96	Auf diesen Beitrag antworten »
In dem Fall wäre $\begin{eqnarray} A^{T}A \end{eqnarray}$ ein Skalar oder? Wie bildet man dann die Inverse? Ist das der Kehrwert?
17.05.2016, 21:10	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Kehrwert, genau
18.05.2016, 17:29	cmplx96	Auf diesen Beitrag antworten »
alles klar, vielen dank!

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