Gleichung umstellen

18.05.2016, 00:34

Morbz

Gleichung umstellen

Hallo zusammen,

ich habe leider ein Problem mit folgender Gleichung:
$\begin{eqnarray*} a=\frac{1}{2}b(\frac{ (\frac{x}{c})^{2}+4}{(\frac{x}{c})^{2}-3}) \end{eqnarray*}$

Diese soll ich nach x auflösen, allerdings habe ich aufgrund des Doppelbruches und der Addition/Subtraktion in der Klammer leider keinerlei Ideen, wie ich es machen könnte.

Könnte mir vielleicht jemand einen Ansatz geben, wie ich diese Gleichung nach x auflösen kann?

Vielen Dank schonmal für eure Hilfe smile

Gruß
Morbz

18.05.2016, 01:16

mYthos

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Die Lösung gelingt gut mittels Variablensubstitution, die Angabe verlangt ja förmlich danach Big Laugh

Setze

$\begin{eqnarray*} \left( \frac x c \right)^2 = u \end{eqnarray*}$

und löse damit

$\begin{eqnarray*} 2a = b \frac {u+4}{u-3} \end{eqnarray*}$

nach $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ .

Letztendlich setze das erhaltene $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ in die Subtitution ein und löse diese nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .

mY+

18.05.2016, 11:33

Morbz

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Hallo,
vielen Dank für deine Hilfe und den Tipp.

Ich habe mal damit weiter gemacht:

$\begin{eqnarray*} 2a = b \frac {u+4}{u-3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2a*(u-3)=b*(u+4) \end{eqnarray*}$

Ausmultipliziert:

$\begin{eqnarray*} 2au-6a=bu+4b \end{eqnarray*}$

Alles mit u auf eine Seite:

$\begin{eqnarray*} 2au-bu=6a+4b \end{eqnarray*}$

Ausgeklammert:

$\begin{eqnarray*} u*(2a-b)=6a+4b |/(2a-b) \end{eqnarray*}$

Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} u=\frac{6a+4b}{2a-b} \end{eqnarray*}$

Rücksubtitution:

$\begin{eqnarray*} u=(\frac{x}{c})^{2}=\frac{x^{2}}{c^{2}}=\frac{6a+4b }{2a-b} |*c^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^{2}=c^{2}*\frac{6a+4b }{2a-b}|\sqrt[]{...} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=\sqrt[]{c^{2}*\frac{6a+4b }{2a-b}} \end{eqnarray*}$

Ist das Ergebnis soweit korrekt? Stimmt es auch von der Rechenweiße bei Brüchen und der Klammersetzung her oder habe ich da was falsch gemacht oder vergessen (passiert mir bei Brüchen leider gerne)?

Gruß
Morbz

18.05.2016, 11:47

klarsoweit

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Außer, daß es für x auch eine negative Lösung gibt / geben kann (das ist abhängig vom Gesamtkontext), habe ich keine Einwände. smile

Zitat:

Original von Morbz
Rechenweiße

Rechenweise. Augenzwinkern

18.05.2016, 15:34

mYthos

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Zitat:

Original von Morbz
...

$\begin{eqnarray*} x=\sqrt[]{c^{2}*\frac{6a+4b }{2a-b}} \end{eqnarray*}$

...

Vielleicht noch c ausklammern, sieht besser (abgeschlossener) aus Big Laugh

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=\pm c \sqrt{\frac{6a+4b }{2a-b}} \end{eqnarray*}$

mY+

19.05.2016, 18:10

Morbz

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Hallo zusammen,

vielen Dank für eure Antworten.
Freut mich, dass alles passt. Ihr habt mir sehr geholfen.

Gibt es eigentlich eine allgemeine Regel, wann das Umstellen mit Substitution Sinn macht?

Gruß,
Morbz

19.05.2016, 19:36

mYthos

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Immer dann, wenn durch die Substitution ein komplexerer Ausdruck, der ausschließlich alleine vorkommt, durch einen einfacheren ersetzt werden kann und dadurch vor allem die weitere Berechnung einfacher und überschaubarer macht.

mY+

21.05.2016, 15:18

Morbz

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Hallo,

vielen Dank für deine Antwort, mYthos.
Was meinst du genau mit: "der ausschließlich alleine vorkommt"?

Ich hätte noch eine weitere kurze Frage, für die es sich aber nicht lohnt, ein neues Thema anzufangen. Deswegen schreibe ich sie mal hier rein:

Und zwar geht es um die 3. binomische Formel.
Ich möchte von x^2-y^2 auf (x+y)(x-y) kommen.

Dazu habe ich zuerst mit "+xy-xy" erweitert.
$\begin{eqnarray*} x^{2}-xy+xy-y^{2} \end{eqnarray*}$

was ja das Gleiche wie $\begin{eqnarray*} x*x-xy+xy+y*(-y) \end{eqnarray*}$ ist.

Dann x und y ausklammern: $\begin{eqnarray*} x*(x-y)+y*(x-y) \end{eqnarray*}$

Wie komme ich noch von dort auf den Ausdruck $\begin{eqnarray*} (x+y)(x-y) \end{eqnarray*}$ ?

Gruß,
Morbz

21.05.2016, 15:32

willyengland

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Indem du (x-y) ausklammerst. smile

22.05.2016, 22:16

Morbz

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Hallo willy,

vielen Dank für deine Antwort.
Jetzt hab ich es auch gesehen. smile

Manchmal steht mir wirklich jemand auf der Leitung Augenzwinkern

Gruß,
Morbz

23.05.2016, 00:49

mYthos

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Zitat:

Original von Morbz

Was meinst du genau mit: "der ausschließlich alleine vorkommt"?
...

War vielleicht unklar ausgedrückt. Der kompliziertere Term erscheint nur in einer Form, diese muss gleich bleiben und sie kann natürlich durchaus auch mehrmals auftreten.
Der Term wird dann überall durch eine einfache Variable ersetzt.

29.05.2016, 21:04

Morbz

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Vielen Dank für deine Antwort.

Ich glaube, jetzt habe ich es verstanden.

Allerdings habe ich nochmals eine Frage. unglücklich

Der Ausdruck $\begin{eqnarray*} (1+a)(1-2a) \end{eqnarray*}$ soll anscheinend der gleiche sein, wie $\begin{eqnarray*} (1-a)+a*(-a)+a*(-a) \end{eqnarray*}$ wenn man für a einen bestimmten Wert einsetzt.
Wie kann ich den zweiten Ausdruck so umformen, dass ich das Aussehen vom ersten erhalte?

Mein Ansatz: $\begin{eqnarray*} 1-a-a^{2}-a^{2}=1-a-2a^{2} \end{eqnarray*}$
a ausklammern:
$\begin{eqnarray*} 1-(1-2a)*a \end{eqnarray*}$

Leider komme ich ab hier nicht mehr weiter...

Gruß,
Morbz

29.05.2016, 22:33

mYthos

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Die Zerlegung kann durch Ausklammern alleine nicht gelingen*.
Dazu muss man eine Trinomzerlegung in zwei Binome machen, die nur in bestimmten Fällen mit ganzzahligen Koeffizienten funktioniert.
Scharfes Hinsehen bzw. Probieren bringt verhältnismäßig schnell

$\begin{eqnarray*} 1 - a - 2a^2 = (1 + ..)*(1 - ..) \end{eqnarray*}$ -- Vorzeichenwechsel in den Klammern wegen des Minus bei $\begin{eqnarray*} -2a^2 \end{eqnarray*}$

Danach weiss man, dass die -2 nur durch (+1)*(-2) oder (-1)*(+2) entstanden sein können.
Das Mittelglied soll aber nach dem Ausmultiplizieren -a ergeben, so kommt man dann zu

$\begin{eqnarray*} 1 - a - 2a^2 = (1 + ..) \cdot (1 - ..) = (1 + a) \cdot (1 - 2a) \end{eqnarray*}$

-----------

(*) Ein Trick besteht auch darin, das Mittelglied als Summe so zu schreiben, dass das Ausklammern nunmehr zum Erfolg führt:

$\begin{eqnarray*} -2a^2 - a + 1 = -2a^2 \color{red}- 2a + a \color{black}+1 = -2a(a+1)+(a+1) = (a+1)(-2a+1) \end{eqnarray*}$

-----------

Freilich kann das Problem auch exakt angegangen werden.
Das Ganze erinnert an den Wurzelsatz von Vieta, wobei unter Wurzeln die beiden Lösungen einer quadratischen Gleichung zu verstehen sind.
Mit deren Hilfe kann man ein (normiertes) quadratisches Polynom in seine beiden Linearfaktoren zerlegen.
Wir lösen also die quadratische Gleichung

$\begin{eqnarray*} -2a^2 - a + 1 = 0 | : (-2) \ \to \ a^2 + \frac a 2 - \frac 1 2 = 0 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und erhalten $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} + \frac 1 2 \end{eqnarray*}$

Somit ist $\begin{eqnarray*} a^2 + \frac a 2 - \frac 1 2 = (a + 1) \cdot (a - \frac 1 2) \ \to \ -2a^2 - a + 1 = (a + 1) \cdot (-2a +1) \end{eqnarray*}$

Weil die Gleichung vorhin durch $\begin{eqnarray*} (-2) \end{eqnarray*}$ dividiert wurde, war danach die ganze Gleichung (deswegen nur einer der beiden Faktoren!) wieder damit zu multiplizieren!

mY+

31.05.2016, 22:21

Morbz

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Hallo,
vielen Dank für deine Hilfe. smile

Die Lösung mit der der Linearfaktorzerlegung habe ich jetzt verstanden (dass man nur einen der Faktoren mit (-2) darf, war mir nicht mehr ganz klar) , wird für mich wohl auch der beste Weg sein, da ich für das "scharfe Hinsehen" wohl keinen guten Blick habe Augenzwinkern

Auf jeden Fall nochmals vielen Dank!

Gruß,
Morbz

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