Skalarprodukt zeigen

18.05.2016, 01:33	JohnnyD	Auf diesen Beitrag antworten »
Skalarprodukt zeigen Wie kann ich zeigen , dass das Skalarprodukt <-,-> auf V (V = $\begin{eqnarray} C^n \end{eqnarray}$ ein komplexer Vektorraum) wirklich ein Skalarprodukt ist ?
18.05.2016, 09:16	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Dazu muss man die 3 Eigenschaften nachweisen, die ein Skalarprodukt haben muss.
18.05.2016, 23:51	JohnnyD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich nehme mal an du meinst : -Sesquilinearität : <av+w , u> =a<v,u>+<w,u> <u,av+w>= a (komplex konjugiert)<u,v>+<v,w> -Hermitisität : <v,w> = <w,v> (komplex konjugiert) -Positivität : <v,v> > 0 für v ungleich 0 Aber wie zeige ich diese Eigenschaften ?
19.05.2016, 08:50	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Schlicht und einfach ausrechnen. Zum Beispiel "positiv definit": $\begin{eqnarray} v=\sum_{k=1}^nv_ke_k=v_1\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ ... \\ 0 \end{pmatrix}+...+v_n\begin{pmatrix} 0 \\ ... \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} v_1 \\ ... \\ v_n \end{pmatrix}\Rightarrow <v,v>=(v_1,...,v_n)\begin{pmatrix} \overline {v_1} \\ ... \\ \overline {v_n} \end{pmatrix}=\sum_{k=0}^nv_k\overline {v_k}=\sum_{k=0}^n\|v_k\|^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow <v,v>\ge 0\;\forall v\in V, <v,v>=0\Leftrightarrow v=0 \end{eqnarray}$ Man muss natürlich ein paar Grundregeln für das Rechnen mit komplexen (und reellen) Zahlen kennen.

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