Definitheit mit Eigenwerten bestimmen - Sitzfest?

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Probability Auf diesen Beitrag antworten »
Definitheit mit Eigenwerten bestimmen - Sitzfest?
Guten Morgen!

Ich habe im Anhang ein Bild. Da steht, wenn alle Eigenwerte der Matrix A pos. sind, dann sind alle Teilmatrizen pos. definit und alle Determinanten der Teilmatrizen positiv.

Aber ist das so sitzfest? Habe ich denn immer eine pos. definite Matrix, wenn alle Teildeterminanten pos. sind oder alle Eigenwerte pos. sind?

Ich dachte die Methode ist unsicher und darum sollte man das folgendermaßen ausrechnen:
xAx --> A ist eine Matrix und x ein Vektor, d.h. ich rechne das aus und schaue mir an, ob das neg, pos. oder gleich Null sein kann. Und diese Methodik ist 100% sitzfest, aber was ist mit obiger?

Gruß
Probability
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RE: Definitheit mit Eigenwerten bestimmen - Sitzfest?
Die Aussagen sind äquivalent.
In 5 werden nicht beliebige Teildeterminanten betrachtet sondern die sog. führenden Hauptminoren.
Das ist bei positiv definiten Matrizen auch ausreichend. Bei positiv semidefiniten allerdings nicht mehr. Vielleicht rührt dein Misstrauen daher.

Nur mal aus Neugier: Sitzfest?? Das Wort habe ich noch nie gehört verwirrt
Probability Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Definitheit mit Eigenwerten bestimmen - Sitzfest?
Danke für die Antwort. Das Wort gibt es tatsächlich nicht Big Laugh .

Also ich frage mich aber, wenn meine Matrix nur negative Eigenwerte hat, ist diese dann neg. Definit?

Und was ist wenn diese pos. und neg. Eigenwerte hat? -> Indefinit?

Bei einer Null als Eigenwert und die anderen Eigenwerte sind pos.? --> pos. semi-definit?

Dasselbe nur mit neg. Eigenwerten? --> neg. semi-definiit?

Stimmt das?
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RE: Definitheit mit Eigenwerten bestimmen - Sitzfest?
Wir haben es immer mit einer symmetrischen Matrix zu tun. Also können wir auch gleich von einer Diagonalmatrix ausgehen . Dann ist und du kannst deine Fragen sehr leicht selbst beantworten.
Falls nicht, melde dich.
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