Lineare Optimierung - Fehler im Lösungsheft?

18.05.2016, 11:51

johngo

Lineare Optimierung - Fehler im Lösungsheft?

Hallo,

ich komme auf eine andere Lösung als im Lösungsheft - was sagt ihr dazu?

Aufgabe 1.32:
Eine Baufirma hat 2 Materiallager mit einer Kapazität von je 60 Tonnen (t). Sie soll 3 verschiedene Firmen F1, F2, F3 beliefern, wobei F1 40 t, F2 50 t und F3 30 t erhalten sollen. Die Transportkosten in Euro pro Tonne sind in der nebenstehenden Tabelle aufgelistet. Ermittle den Lieferplan, der die geringsten Transportkosten verursacht.
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} . & F_1 & F_2 & F_3 \\ L_1 & 30 & 30 & 30 \\ L_2 & 50 & 60 & 30 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Das Lösungsheft bringt diese Lösung:
[attach]41673[/attach]
also eine optimale Lösung für x=30, y=0.

Ich komme auf eine optimale Lösung für x=0, y=40, daraus die Transportkosten von 4500 Euro. Die Ungleichungen und die Zielfunktion hab ich die gleichen wie im Lösungsheft. Ich habe die Gerade der Zielfunktion an den äußersten Punkt des Zielbereiches verschoben, weil ja dann die Kosten minimal sind. Im Lösungsheft wurde sie scheints aber an den dem Ursprung nähesten Punkt verschoben.
Die Geogebra Datei hab ich auch angehängt.

Welche Lösung stimmt nun?

Vielen Dank für eure Hilfe!

[attach]41675[/attach]

18.05.2016, 15:26

Huggy

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RE: Lineare Optimierung - Fehler im Lösungsheft?
Mir scheint, beide Lösungen sind nicht korrekt. Ich komme auf ein Optimum bei:

$\begin{eqnarray*} x=10 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=50 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Z(x,y)=4200 \end{eqnarray*}$

[attach]41681[/attach]

Dein Punkt $\begin{eqnarray*} (0,40) \end{eqnarray*}$ ist doch gar kein Eckpunkt.

24.05.2016, 20:25

johngo

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Ja genau, ich hatte noch einen Fehler in einer Ungleichung, jetzt komm ich auch auf deine Lösung mit x=10 und y=50 ! (geogebra datei im anhang)

Und seh ich das richtig, dass bei der Lösung im Lösungsheft die Gerade auf die unterste (=mit dem geringsten Abstand zur Gerade die durch den Ursprung geht) Grenze des erlaubten Lösungsbereiches verschoben wurde (x=30, y=0), was aber falsch ist, weil hier die Kosten am höchsten sind?

Und vielen Dank Huggy für deine Unterstützung!

24.05.2016, 22:17

mYthos

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Es stimmt NICHT, dass die Kosten am geringsten sind, wenn die Zielfunktion an den äussersten Punkt des Zielbereiches verschoben wird, das Gegenteil ist der Fall, die Kosten sind dann am höchsten.
Also muss man einen Punkt mit dem geringsten Abstand ... treffen.

Es fehlt in der Grafik noch die Gerade x + y = 30 (weil x + y >= 30), diese geht von (30; 0) nach (0; 30).

~~Daher trifft die Zielfunktion (deren Steigung -1/2 ist) mit dem minimalen Abstand ... den Punkt (30; 0) und dieser ist dann auch für die minimalen Kosten bestimmend.~~

Edit: Unzutreffende Textstellen gestrichen

mY+

24.05.2016, 22:40

johngo

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Für x=30, y=0 sind die Kosten
Z(x,y)=-10*30 - 20*0 + 5300 = 5000, also nicht minimal....

im Vergleich dazu:
Z(10,50)=4200

24.05.2016, 23:29

mYthos

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Da hast du Recht, sorry. Es ist der Punkt (10; 50)
Das liegt an der Aufgabenstellung. Im Gegensatz zu anderen linearen Optimierungen fallen hier die Kosten mit steigenden Stückzahlen (was nicht ganz logisch erscheint).
Abgesehen davon habe ich eine andere Zielfunktion als die in der Lösung, die jedoch an der Tatsache nichts ändert:

Z(x,y) = 5900 - 20x - 30y

Setzt man den Punkt (10; 50) dort ein, erhält man 5900 - 200 - 1500 = 4200

Alle Ungleichungen wie in der Lösung habe ich genau so. Bei Huggy fehlt zwar x + y = 30, bei dir in Geogebra ist sie vorhanden.
Wenn du dort auch noch die Gerade h auf y = (-2x)/3 + (5900-K)/30 änderst, erzeugt auch diese die Kosten 4200, wenn sie durch den Punkt (10; 50) geht.

[attach]41763[/attach]

mY+

25.05.2016, 08:25

Huggy

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Zitat:

Original von mYthos
Das liegt an der Aufgabenstellung. Im Gegensatz zu anderen linearen Optimierungen fallen hier die Kosten mit steigenden Stückzahlen (was nicht ganz logisch erscheint).

Die Logik ist hier nicht verletzt. $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ sind ja nicht die einzigen Transportmengen. Die Summe aller Transportmengen ist konstant, nämlich 120. Und wenn man ganz ohne Rechnung auf die Abbildung schaut. sieht man, dass der Transport von $\begin{eqnarray*} L_2 \end{eqnarray*}$ an $\begin{eqnarray*} F_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F_2 \end{eqnarray*}$ besonders teuer ist. Da erscheint es logisch, diese Transportmengen möglichst klein zu halten, also die komplementären Transportmengen von $\begin{eqnarray*} L_1 \end{eqnarray*}$ an $\begin{eqnarray*} F_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F_2 \end{eqnarray*}$ möglichst groß zu machen.

Zitat:

Abgesehen davon habe ich eine andere Zielfunktion als die in der Lösung, die jedoch an der Tatsache nichts ändert:

Z(x,y) = 5900 - 20x - 30y

Das liegt daran, dass die Tabelle von johnggo einen Fehler enthält. Die Transportkosten von $\begin{eqnarray*} L_1 \end{eqnarray*}$ an $\begin{eqnarray*} F_3 \end{eqnarray*}$ sind 20 und nicht 30, wie man der Abbildung entnimmt. Mit 20 ergibt sich die Zielfunktion wie in der Abbildung.

25.05.2016, 11:07

johngo

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Aja stimmt, Fehler in der Tabelle der Transportkosten, hier korrigiert:
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} . & F_1 & F_2 & F_3 \\ L_1 & 30 & 30 & 20 \\ L_2 & 50 & 60 & 30 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

25.05.2016, 11:24

mYthos

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@Huggy: Danke für die Info!
Mit der korrigierten Kostentabelle ergibt sich jetzt die richtige Zielfunktion.
-----
Allerdings ist der Aufgabensteller in seiner Musterlösung letztendlich dem selben Irrtum unterlegen, die Zielgerade in den dem Nullpunkt nächstgelegenen Eckpunkt des Planungsvieleckes zu verschieben.

mY+

25.05.2016, 12:03

Huggy

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Man kann halt keiner Lösung trauen, wenn man sie nicht selbst geprüft hat.

Am Rande: Die Gerade $\begin{eqnarray*} x+y=30 \end{eqnarray*}$ fehlte bei mir, weil ich den Punkt $\begin{eqnarray*} (0,30) \end{eqnarray*}$ versehentlich noch mal als $\begin{eqnarray*} (30, 0) \end{eqnarray*}$ eingegeben hatte. Und der dumme Rechner dachte gar nicht daran, mich zu fragen, weshalb ich denn einen Punkt mit sich selbst verbinden will? Big Laugh

25.05.2016, 14:13

mYthos

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So ein Dummi Big Laugh

---------
Übrigens habe ich das des Interesses halber nochmal (ähnlich wiebei johngo) in GeoGebra behandelt.
Für die Didaktik sieht dies sehr gut aus, die Schüler (und auch der Lehrer, hehe!) können sehen, wie sich die Kosten verändern, wenn man die Kostenfunktion parallel zur Zielfunktion in die Eckpunkte des Planungsvieleckes verschiebt.

[attach]41775[/attach]

mY+

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