Zeigen, dass Funktionenfolge im Intervall liegt

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18.05.2016, 16:30	jmg	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeigen, dass Funktionenfolge im Intervall liegt Hi, die Aufgabenstellung befindet sich im Anhang. Ich habe bereits die komplette Aufgabe gelöst - alles, was noch aussteht, ist der Nachweis in c), dass die Fkt.-folge (f_n) tatsächlich im Intervall [-M-1, M+1] liegt. Hierzu habe ich mir eine Argumentation überlegt, über deren Gültigkeit ich mir noch unschlüssig bin: Da der Bildbereich von f eine Teilmenge der reellen Zahlen darstellt, folgt aus der Definition von M, dass das Intervall selbst reell ist. Ferner kann aufgrund dieser Definition f weder den Wert M+1 noch den Wert -M-1 annehmen. Da jedes reelle Intervall überabzählbar ist und da die Funktionswerte von f allesamt Berührpunkte des Intervalls sind, liegt in jeder Umgebung von f mindestens ein weiterer Punkt des Intervalls. Insbesondere folgt damit aus der Konvergenz der (f_n) gegen f, dass in der Umgebung von f für ein gewisses N stets Folgenglieder der (f_n) liegen müssen, also liegt (f_n) im Intervall [-M-1, M+1] für ein gewisses N.
18.05.2016, 17:44	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen, dass Funktionenfolge im Intervall liegt Ich verstehe die Argumentation nicht wirklich. Aber es ist einfach die Dreiecksungleichung: $\begin{eqnarray} \| f_n \| = \| (f_n - f) + f\| \leq ... \end{eqnarray}$ .
18.05.2016, 18:27	jmg	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen, dass Funktionenfolge im Intervall liegt Das verwirrt mich jetzt etwas - worauf möchtest du hinaus?
18.05.2016, 18:55	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen, dass Funktionenfolge im Intervall liegt Es gilt $\begin{eqnarray} f(x) \in [-M-1, M + 1] = [ - (M+1), (M+1) ] \end{eqnarray}$ genau dann wenn $\begin{eqnarray} \|f(x)\| \leq M+1 \end{eqnarray}$ gilt.
18.05.2016, 19:04	jmg	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen, dass Funktionenfolge im Intervall liegt Ah, ja, so habe ich auch für f argumentiert, und da (f_n)(x) glm. gegen f(x) konvergiert, muss es ein N geben, so dass \|(f_n)(x)\| < M+1 für n > N, womit (f_n)(x) direkt im Intervall liegt, oder?
18.05.2016, 20:12	jmg	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen, dass Funktionenfolge im Intervall liegt Wieso ist das schleierhaft? Wenn das Intervall überabzählbar ist, so ist jedes f(x) ein Berührpunkt des Intervalls, was bedeutet, dass in jeder Epsilon-Umgebung von f(x) beliebig viele Elemente des Intervalls zu finden sind. Insbesondere kann ich dementsprechend in jeder Epsilon-Umgebung von f(x) beliebig viele Folgenglieder f_n(x) finden, da diese ja nach Voraussetzung gegen jedes f(x) konvergieren, und wenn sie in jeder Epsilon-Umgebung von f(x) zu finden sind (für ein bestimmtes n > N), so liegen sie natürlich auch selbst in dem Intervall. Wenn das Intervall nicht überabzählbar wäre, so wäre es abzählbar, also endlich, was bedeutet, dass ich nicht OBdA voraussetzen kann, dass die Folgenglieder f_n(x) auch tatsächlich in dem Intervall liegen, selbst wenn sie gegen ein gewisses f(x) konvergieren. Es könnte ja sein, dass sie irgendwie zwischen einzelnen Elementen des Intervalls und damit nicht im Intervall selbst liegen. Aber genau das kann ich ja aufgrund der Überabzählbarkeit ausschließlich. Finde die Argumentation ehrlich gesagt recht stringent. Ist jetzt klarer geworden, was ich meine?
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18.05.2016, 20:21	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen, dass Funktionenfolge im Intervall liegt Ich glaube ich verstehe was du meinst. Aber die Aussage ist falsch, wenn die Folge nur punktweise und nicht gleichmäßig konvergiert. Dein N hängt momentan von x ab. Und das abzähbar bedeutet nicht endlich. Im besten Fall beinhaltet es den Fall endlich, aber es umfasst immer "Gleichmächtig zu den natürlichen Zahlen".
18.05.2016, 20:45	jmg	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen, dass Funktionenfolge im Intervall liegt Aber die Folge konvergiert doch gleichmäßig, das steht so in der Aufgabenstellung. Also hängt das N nicht von x ab.
19.05.2016, 05:47	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen, dass Funktionenfolge im Intervall liegt Die Folge konvergiert gleichmäßig, aber in deiner Argumentation benutzt du das nicht. Du redest immer von $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f_n(x) \end{eqnarray}$ für festes $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ .
23.05.2016, 10:06	jmg	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen, dass Funktionenfolge im Intervall liegt Hallo, du hast recht, ich habe mich ein wenig unglücklich ausgedrückt - gemeint ist das Ganze hier natürlich unter dem Aspekt der gleichmäßigen Konvergenz. :-)

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