Orthogonalität von Funktionen

18.05.2016, 16:55	freddy90	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthogonalität von Funktionen Meine Frage: Hey, ich möchte folgende Aussage beweisen. Sei $\begin{eqnarray} x \in \mathcal{C}([0,1]) \end{eqnarray}$ . Dann folgt aus $\begin{eqnarray} \int_0^1 x(t)h(t) dt =0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} h \in \mathcal{C}([0,1]) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} h(0)=h(1)=0 \end{eqnarray}$ , dass $\begin{eqnarray} x(t)=0 \end{eqnarray}$ ist. Meine Ideen: Ich wollte die Aussage aus dem Fundamentallemma der Variationsrechnung kriegen. Dieses lautet: Sei $\begin{eqnarray} M : [a,b] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray}$ stückweise stetig und $\begin{eqnarray} \int_a^b M(t) z(t) dt =0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} z \in \mathcal{Z}_0 \end{eqnarray}$ . Dann folgt $\begin{eqnarray} M(t)=0 \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \mathcal{Z}_0 \end{eqnarray}$ der Raum der zulässigen Funktionen (stetige Funktionen mit endlich vielen Ecken, die die Randbedingungen $\begin{eqnarray} z(a)=z(b)=0 \end{eqnarray}$ erfüllen) ist. Leider ist der Raum der stetigen Funktionen größer als der der zulässigen Funktionen und ich weiß nicht, wie ich das retten kann. Liebe Grüße Freddy
18.05.2016, 17:40	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orthogonalität von Funktionen Du hast Recht. Der Raum der stetigen Funktionen ist groesser. Das ist aber kein Problem, im Gegenteil. Wenn die erste Gleichheit fuer alle stetigen Funktionen gilt, gilt sie insbesondere fuer alle stetigen Funktion mit endlich vielen Eckpunkten (was auch immer Eckpunkte hier heisst.)
18.05.2016, 20:04	freddy90	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Antwort. Verstehe ich das richtig? In der ersten Gleichung ist h aus einem größeren Funktionenraum, als bei den Voraussetzungen des Fundamentallemmas. Soll die erste Gleichung gelten, so muss x jetzt "erst recht" null sein, da man nun "mehr" h zur Verfügung hat?
18.05.2016, 20:13	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau Natürlich muss man noch gucken, dass x selbst aus einem kleineren Raum kommt als das M. Ansonsten könnte es sein, dass man die zusätzlichen h wirklich bräuchte.
18.05.2016, 20:19	freddy90	Auf diesen Beitrag antworten »
Wow, das hat einen ordentlichen Knoten im Kopf gelöst. Klar, das x muss aus einem Unterraum der abschnittsweise stetigen Funktionen kommen. Das hatte ich nicht erwähnt. Super, danke dir!
18.05.2016, 20:23	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Aber glücklicherweise sind alle stetigen Funktion auch stückweise stetig, und alle zulässigen Funktion sind stetig. Damit geht alles gut. Wenn eine Inklusion andersrum wäre, müsste man arbeiten
Anzeige

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »