Bogenlängen Parametrisierung einer Zykloide

18.05.2016, 22:32	asdfasdfasfd	Auf diesen Beitrag antworten »
Bogenlängen Parametrisierung einer Zykloide Meine Frage: Hallo, ich sitze momentan vor folgender Aufgabe und komm einfach nicht weiter: Sei $\begin{eqnarray} \gamma : [0, 2pi] -> R^2, \gamma(t) = (t - sin(t), 1 - cos(t)) \end{eqnarray}$ eine Zykloide Bestimmen Sie eine bogenlängenparametrisierte Umparametrisierung $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ (d.h. finden Sie eine Parametertransformation $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ mit der Eigenschaft, dass die Kurve $\begin{eqnarray} \gamma* := \gamma o \sigma^(-1) \end{eqnarray}$ bogenlängenparametrisiert ist). Unter bogenlängenparam. haben wir definiert: $\begin{eqnarray} \|\| \gamma' \|\| = 1 \end{eqnarray}$ Ich muss also eine bijektive, stetig diff´bare Abb. $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ finden so dass $\begin{eqnarray} \|\| \gamma o \sigma^(-1) \|\| = 1 \end{eqnarray}$ Meine Ideen:* Also grundsätzlich weiß ich das wir in der VL eine Satz bewiesen haben der wie folgt heißt: Ist $\begin{eqnarray} \gamma : [a, b] -> R^n \end{eqnarray}$ eine stetig differenzierbare reguläre Kurve, dann ist die durch die Parametertransformation $\begin{eqnarray} \sigma : [a, b] -> [0, L] \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \sigma (t) = \int_{a}^{t} \! \|\| (\gamma )'(s) \|\| \, ds , \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} L = \int_{a}^{b} \! \|\| (\gamma )'(s) \|\| \, ds \end{eqnarray}$ bestimmte Umparametrisierung von $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ bogenlängenparametrisiert. Nur ist meine Kurve ja nicht regulär an den Punkten 0 und $\begin{eqnarray} 2\pi \end{eqnarray}$ LaTeX-Tags ergänzt. Steffen
19.05.2016, 13:37	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Kurve ist regulär, denn Randpunkte spielen hierbei keine Rolle. Gehe nach den Definitionen vor. Berechne $\begin{align} s = \int_0^t \left\\| \gamma'(\tau) \right\\| ~ \dd \tau \end{align}$ und löse nach $\begin{align} t \end{align}$ auf. Ergebnis zur Kontrolle: $\begin{align} t = 2 \arccos \left( 1 - \frac{1}{4} s \right) \end{align}$ Und dann wird $\begin{align} t \end{align}$ in $\begin{align} \gamma(t) \end{align}$ entsprechend substituiert. Ergebnis zur Kontrolle: $\begin{align} \tilde{\gamma}(s) = \left( 2 \arccos \left( 1- \frac{1}{4} s \right) - \frac{1}{8} \left( 4 - s \right) \sqrt{s \left( 8-s \right)} \, , \, \frac{1}{8} s \left( 8-s \right) \right) \, , \ \ s \in [0,8] \end{align}$ Jetzt versuche, die Rechnung im einzelnen durchzuführen. Du wirst einige trigonometrische Umrechnungsformeln brauchen.

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