Beweis lin. unabh. Familie

19.05.2016, 09:36

DQQpy

Beweis lin. unabh. Familie

Hallo,

habe als Aufgabe zu beweisen, dass wenn $\begin{eqnarray*} {v_1,...,v_n} \end{eqnarray*}$ eine lin. unabh. Famile im K-Vektorraum V ist, dann auch die Familie $\begin{eqnarray*} {b_1,...,b_n} \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} b_1 := a_{11} v_1 + a_{12} v_2 + ... + a_{1n} v_n, \\ b_2 := a_{22} v_2 + ... + a_{2n} v_n, \\ ...\\ b_n := a_{nn} v_n \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} a_{ij} \in K, a_{jj} \neq 0 \end{eqnarray*}$ für j =1,...,n

Dazu habe ich zuerst angenommen(Beweis durch Widerspruch), dass

$\begin{eqnarray*} \exists k \in \{1,...,n\}: b_k= \lambda_1 b_1+...+\lambda_{k-1} b_{k-1}+\lambda_{k+1} b_{k+1}+...+\lambda_n b_n \end{eqnarray*}$

Für b habe ich dann eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} b_k = \lambda_1 (a_{11}v_1+...+a_{1n}v_n)+\lambda_2(a_{22}v_2+...+a_{2n}v_n)+...+\lambda_{k-1}(a_{(k-1)(k-1)}v_{k-1}+...+a_{(k-1)n}v_n) + \lambda_{k+1} (a_{(k+1)(k+1)}v_{k+1}+...+a_{(k+1)n}v_n)+...+\lambda_n(a_{nn}v_n) \end{eqnarray*}$

Und das ist dann wieder

$\begin{eqnarray*} = \lambda_1a_{11}v_1 + (\lambda_1a_{12}+\lambda_2a_{22})v_2+...(ohne v_k)...+(\lambda_1a_{1n}+...+\lambda_na_{nn})v_n \end{eqnarray*}$

Da nach Definition $\begin{eqnarray*} b_k = a_{kk}v_k +...+a_{kn}v_n \end{eqnarray*}$ (*)

können wir $\begin{eqnarray*} a_{11},...,a_{k(k-1)}=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{k(k+1)},...,a_{kn} \end{eqnarray*}$ gleich dem jeweiligen Koeffizienten aus der oberen Gleichung setzen, sodass wir folgendes erhalten:

$\begin{eqnarray*} b_k = 0+...+0+a_{k(k+1)}v_{k+1}+...+a_{kn}v_n \end{eqnarray*}$

was im Widerspruch zu (*) steht, denn $\begin{eqnarray*} a_{kk}v_k \end{eqnarray*}$ lässt sich wegen lin. unabh. von $\begin{eqnarray*} \{v_1,...,v_n\} \end{eqnarray*}$ nicht durch andere v ausdrücken.

Jetzt die Frage: Ist das formell so richtig, oder geht das evtl. sogar etwas einfacher? Big Laugh

MfG

19.05.2016, 16:22

Elvis

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Es ist durchaus möglich, dass das richtig ist. Ob der Beweis vollständig ist, weiß ich nicht ganz sicher. Einfacher zu lesen wäre der Beweis in Summendarstellung anstatt mit so vielen Additionen (jedenfalls für mich einfacher zu lesen).
Kurzer Beweis: $\begin{eqnarray*} \{v_i\}l.u.,b_i=Av_i, det A\ne 0\Rightarrow \{b_i\}l.u. \; (i=1,...,n) \end{eqnarray*}$

19.05.2016, 18:50

DQQpy

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Zitat:

Einfacher zu lesen wäre der Beweis in Summendarstellung

Stimmt, daran habe ich gar nicht gedacht, in der Vorlesung hatten wir das auch immer so. Außerdem wüsste ich spontan nicht, wie ich dann kennzeichne, dass ein Summand aus der Folge fehlt, in diesem Beweis ja der Summand an k-ter Steller?

Zitat:

Kurzer Beweis: $\begin{eqnarray*} \{v_i\}l.u.,b_i=Av_i, det A\ne 0\Rightarrow \{b_i\}l.u. \; (i=1,...,n) \end{eqnarray*}$

Determinanten hatten wir leider noch nicht unglücklich