Determinantenform Endomorphismen

19.05.2016, 16:22	PechKaro	Auf diesen Beitrag antworten »
Determinantenform Endomorphismen Meine Frage: Hallo ich habe ein Verständnisproblem Ich habe einen Endomorphismus gegeben $\begin{eqnarray} F: V \rightarrow V \\<br /> p(t) \rightarrow 3p(t) + (-1-2t+t^2)p'(t) + (2 + 3t - t^3)p"(t) \end{eqnarray}$ wobei V der Vektorraum der reellen Polynome vom Grade kleiner oder gleich 2 ist. Meine Ideen: So, nun soll ich die Determinante von F ermitteln. Alles kein Problem. Ich habe zur Basis $\begin{eqnarray} A = (1, t, t^2) \end{eqnarray}$ die Darstellungsmatrix ermittelt und so die Determinante, hatten wir aber so nicht in der Vorlesung. Jetzt mein Problem: Mit der Definition für die Determinante eines Endomorphismus aus der Vorlesung käme ich auf folgendes: $\begin{eqnarray} det(F) = \triangle_A(F(1), F(t), F(t^2)) \end{eqnarray}$ Keine Ahnung wie ich damit weitermachen soll. Vielleicht kann mir erstmal jemand diese Definition erklären: Sei U eine Basis von einem K-Vektorraum V. Dann definieren wir: $\begin{eqnarray} \triangle_U(v_1, \dots, v_n) := \sum_{\sigma \in S_n} \text{sign}(\sigma) \cdot c_{1\sigma(1)} \cdot ... \cdot c_{n\sigma(n)} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} v_i = \sum_{j=1}^{n} c_{ij} u_{j} \quad c_{ij} \in K \end{eqnarray}$ Danke im Voraus
19.05.2016, 18:41	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles kein Problem. Die Definition der Determinante bezüglich einer Basis läuft genau auf die übliche Berechnung der Determinante einer Darstellungsmatrix eines Endomorphismus bezüglich einer Basis hinaus. (Heuristische Erklärung: das muss ja passen, sonst wäre niemand so verrückt, diese Definition Determinante zu nennen. Formale Erklärung: ich weiß, dass das passt.)
22.05.2016, 14:11	PechKaro	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine Antwort. Aber wie man von dem einen auf das andere kommt, habe ich leider immer noch nicht verstanden.
22.05.2016, 14:26	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das musst Du im Skript oder in einem Buch nachlesen. Wenn man eine Basis von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ gegeben hat, dann hat jeder Endomorphismus von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ eine Matrixdarstellung $\begin{eqnarray} A=(c_{ij}) \end{eqnarray}$ , und genau diese Koeffizienten sind es, die in der Definition der Determinante wieder auftauchen.
22.05.2016, 16:10	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Und im Skript findest du sicher, daß die Determinante eines Endomorphismus nicht von der Wahl der Basis abhängig ist. Die darstellende Matrix bezüglich der von dir gewählten Basis $\begin{align} A \end{align}$ ist $\begin{align} \begin{pmatrix} 3 & -1 & 4 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \end{align}$ . Und daher ist $\begin{align} \det(F) = \begin{vmatrix} 3 & -1 & 4 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3 & -1 & 4 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & -5 \end{vmatrix} = -15 \end{align}$
22.05.2016, 21:29	PechKaro	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok danke, wie gesagt, die Determinante hatte ich bereits berechnet, mir ging es wirklich nur um die Definition.
Anzeige

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »