Exponentiale von Matrizen

19.05.2016, 16:47

x-)

Exponentiale von Matrizen

Meine Frage:
Hey,

ich soll die Exponentiale von folgenden Matrizen berechnen:

a) $\begin{eqnarray*} M=\begin{pmatrix} 0 & i \\ -i & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} N=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 2 & -i\pi \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

c) $\begin{eqnarray*} P=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Als Hinweis ist gegeben, dass es bei a) und c) einen effizienteren Rechenweg gibt als die Jordan-Zerlegung.

Fangen wir also bei a) an. Da hab ich M*M berechnet, wobei die Einheitsmatrix herauskommt. Das bedeutet ja dann, dass bei allen weiteren Potenzen immer bei den ungeraden M und bei den geraden die Einheitsmatrix herauskommt. Die Formel lautet ja $\begin{eqnarray*} exp(M)=\sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac{M^{k} }{k!} \end{eqnarray*}$ ...
Wie bringe ich da meine "Entdeckung" rein?

Bei b) würd ich dann einfach den Weg gehen, Eigenwerte und Eigenräume zu bestimmen und damit die ähnliche Matrix etc. zu finden, das dann exponenzieren usw. Oder gibt es da einen besseren Weg?

Bei c) verdoppeln sich die Einträge beim Multiplizieren immer... Also könnte irgendwas mit Zweierpotenzen von Nutzen sein. Aber auch hier weiß ich nicht, wie genau ich das in ein konkretes Ergebnis umwandeln soll.

Hoffe das war jetzt nicht zu viel Text Augenzwinkern

Wär klasse wenn mir jemand ein paar Tipps geben könnte smile

19.05.2016, 16:57

HAL 9000

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Zitat:

Original von x-)
Fangen wir also bei a) an. Da hab ich M*M berechnet, wobei die Einheitsmatrix herauskommt. Das bedeutet ja dann, dass bei allen weiteren Potenzen immer bei den ungeraden M und bei den geraden die Einheitsmatrix herauskommt.

Richtig. Na dann nutze das doch, indem du die Reihe entsprechend zerlegst:

$\begin{align*} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{M^k}{k!} = \sum_{l=0}^{\infty} \left( \frac{M^{2l}}{(2l)!} + \frac{M^{2l+1}}{(2l+1)!} \right) \stackrel{!}{=} \sum_{l=0}^{\infty} \left( \frac{E}{(2l)!} + \frac{M}{(2l+1)!} \right) = \left( \sum_{l=0}^{\infty} \frac{1}{(2l)!} \right)\cdot E + \left( \sum_{l=0}^{\infty} \frac{1}{(2l+1)!} \right)\cdot M \end{align*}$

Die auftretenden reellen Reihenwerte kannst du nun mit Ausdrücken von $\begin{align*} e \end{align*}$ (bzw. primär erstmal mit sinh- bzw. cosh-Werten) darstellen.

Zitat:

Original von x-)
Bei c) verdoppeln sich die Einträge beim Multiplizieren immer... Also könnte irgendwas mit Zweierpotenzen von Nutzen sein.

Ebenfalls richtig, d.h., es ist $\begin{align*} P^n = 2^{n-1}\cdot E \end{align*}$ . Das sollte ebenfalls eine leichte Reihenberechnung ermöglichen. Zu beachten ist aber, dass diese Formel nur für $\begin{align*} n\geq 1 \end{align*}$ , d.h. noch nicht für $\begin{align*} n=0 \end{align*}$ gilt. Augenzwinkern

EDIT: Die Matrix bei c) heißt P statt M - korrigiert.

19.05.2016, 19:14

x-)

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Danke schonmal für die Antwort.
Darf man bei deiner Rechnung im letzten Schritt die Summe einfach so in zwei Summen unterteilen? Ich dachte immer, das wäre nur bei endlichen Summen erlaubt. Oder verwechsle ich da jetzt was?

Wie meinst du das, die auftretenden reellen Reihenwerte mit Ausdrücken von e darzustellen? sinh und cosh haben wir eigentlich noch gar nicht "offiziell" eingeführt. Ich hab die genauen Definitionen mal gegoogelt und die entsprechenden Fakultäten bei der Taylorentwicklung wiedergefunden. Da wir ja 1 im Zähler haben, müsste ich dann von sinh(1) bzw. cosh(1) ausgehen? Das wäre dann also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \left( e-\frac{1}{e} \right) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \left( e+\frac{1}{e} \right) \end{eqnarray*}$ . Stimmts?

19.05.2016, 19:57

HAL 9000

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Zitat:

Original von x-)
Darf man bei deiner Rechnung im letzten Schritt die Summe einfach so in zwei Summen unterteilen?

Sofern beide konvergieren: Ja.

Zitat:

Original von x-)
Das wäre dann also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \left( e-\frac{1}{e} \right) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \left( e+\frac{1}{e} \right) \end{eqnarray*}$ . Stimmts?

Wenn du diese beiden Werte richtig zuordnest, stimmt es.

20.05.2016, 17:02

x-)

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Hey, ok danke. Die Zuordnung ist klar, also wenn man von deiner Reihenfolge ausgeht, dann andersrum, als ich es hingeschrieben hab Augenzwinkern

Zu c) Hier hab ich gerechnet

$\begin{eqnarray*} exp(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty } \frac{M^{n} }{n!} = E+\sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{2^{n-1}\cdot E }{n!} \end{eqnarray*}$ .

Mein Problem ist, dass ich hier nicht weiß, wie ich diesen Term auf Ausdrücke von e zurückführen soll. Hier hab ich ja kein (2n)! oder sowas im Nenner, sodass ich sinh oder cosh nehmen könnte. Gibt es hier noch eine geschickte Zerlegung, die mich weiter bringt...?

20.05.2016, 17:09

HAL 9000

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Zitat:

Original von x-)
Zu c) Hier hab ich gerechnet

$\begin{eqnarray*} exp(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty } \frac{M^{n} }{n!} = E+\sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{2^{n-1}\cdot E }{n!} \end{eqnarray*}$ .

Schlampig von vorn bis hinten: Wieso x? Wieso M? Wieso E in der Reihe?

Tatsächlich hätte hier

$\begin{align*} \exp(P) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{P^n}{n!} = E + \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n-1}\cdot P}{n!} = E + \left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n-1}}{n!} \right)\cdot P \end{align*}$

o.ä. stehen müssen.

Zitat:

Original von x-)
Mein Problem ist, dass ich hier nicht weiß, wie ich diesen Term auf Ausdrücke von e zurückführen soll.

Was bekommt man für die Exponentialreihe $\begin{align*} e^z = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} \end{align*}$ , wenn man $\begin{align*} z=2 \end{align*}$ einsetzt?

20.05.2016, 17:26

x-)

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Sorry für die Tippfehler.
Das E in der Reihe hatte ich aus

Zitat:

Original von HAL 9000
es ist $\begin{align*} P^n = 2^{n-1}\cdot E \end{align*}$ .

Aber das ist wohl auch ein Tippfehler, denn da müsste ja auch P statt E stehen.

Dann hätte man natürlich

$\begin{eqnarray*} e^{2} = \sum\limits_{n=0}^{\infty } \frac{2^{n} }{n!} \end{eqnarray*}$

Ich weiß jetzt nicht, worauf du hinauswillst.

20.05.2016, 17:37

HAL 9000

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Zitat:

Original von x-)
Aber das ist wohl auch ein Tippfehler, denn da müsste ja auch P statt E stehen.

Ja stimmt - da muss ich mich auch selber schelten. Hammer

Zitat:

Dann hätte man natürlich

$\begin{eqnarray*} e^{2} = \sum\limits_{n=0}^{\infty } \frac{2^{n} }{n!} \end{eqnarray*}$

Dann subtrahieren wir mal 1:

$\begin{eqnarray*} e^2-1 = \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{2^{n} }{n!} \end{eqnarray*}$

Und teilen durch 2:

$\begin{eqnarray*} \frac{e^2-1}{2} = \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{2^{n-1} }{n!} \end{eqnarray*}$ .

20.05.2016, 17:47

x-)

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Stimmt, auf den Rechenschritt hätte ich selbst kommen sollen... verwirrt

Danke für deine Hilfe!

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