Ableitung in vorgegebene Richtung

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19.05.2016, 18:26	s_punkt	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung in vorgegebene Richtung Servus Ich habe folgende Aufgabe: Von f mit $\begin{eqnarray} f(x\|y) := x^2y^3 \end{eqnarray}$ ist die Ableitung im Punkt P(1,-2) in der vorgegeben Richtung $\begin{eqnarray} \phi_1 = \frac{\pi}{3} \end{eqnarray}$ wobei Phi der orientierte Winkel zwischen der positiven x-Achse und der Richtung Phi mit $\begin{eqnarray} -\pi<\phi\le \pi \end{eqnarray}$ ist. Mein Problem ist, dass ich noch nie etwas von Winkeln im Zusammenhang mit Ableitungen gehört habe, wie gehe ich hier vor und unter welchem Thema kann man sowas nachlesen?
19.05.2016, 20:27	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
--> Richtungsableitung (hatten wir hier im Forum öfters schon, Forumssuche!) Falls weiter noch Probleme bestehen, schreibe dies bitte hier! mY+
19.05.2016, 20:41	s_punkt	Auf diesen Beitrag antworten »
Darauf hätte man auch kommen können. Eine Frage hätte ich noch und zwar, wird in den meisten Threads zu dem Thema eine Richtung mittels Vektor gegeben, bei meinem Beispiel habe ich aber einen Winkel gegeben. Wie gehe ich dann damit um?
19.05.2016, 21:45	s_punkt	Auf diesen Beitrag antworten »
In der Zwischenzeit ist mir zu dem Thema eine Idee gekommen: Die Ableitung eines ebenen Skalarfeldes in Richtung eines Einheitsvektors ist ja: $\begin{eqnarray} \frac{\partial f}{\partial\vec{e}}=\mathrm{grad}f\cdot\vec{e}=\left\|\mathrm{grad}f\right\| \cdot \left\|\vec{e}\right\|\cdot \mathrm{cos}\phi=\left\|\mathrm{grad}f\right\| \cdot\mathrm{cos}\phi \end{eqnarray}$ Also würde ich zuerst den Gradienten von f bilden: $\begin{eqnarray} \mathrm{grad}f =\begin{pmatrix} 2xy^3 \\ 3x^2y^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Jetzt setze ich meine Punkte ein: $\begin{eqnarray} \mathrm{grad}f(1,-2)=\begin{pmatrix} -16 \\ 12 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun würde ich den Betrag des Vektors bilden und dann den Winkel multiplizieren: $\begin{eqnarray} \left\|\mathrm{grad}f\right\|\cdot\mathrm{cos}\phi = 20 \cdot\mathrm{cos}\frac{\pi}{3} = 10 \end{eqnarray}$ Stimmt die 10 als Ergebnis?
20.05.2016, 01:27	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die RA (Richtungsableitung) ergibt etwas anderes. Definition der Richtungsableitung (in Richtung des Vektors $\begin{eqnarray} \vec v \end{eqnarray}$ ): Diese ist gleich dem skalaren Produkt des Gradientenvektors mit dem normierten Vektor von $\begin{eqnarray} \vec v \end{eqnarray}$ . Dieser Vektor $\begin{eqnarray} \vec v \end{eqnarray}$ ist im Winkel von $\begin{eqnarray} \varphi = \frac {\pi} 3 \end{eqnarray}$ zur x-Achse, normiert lautet er $\begin{eqnarray} \vec v = \begin{pmatrix} \cos \varphi \\ \sin \varphi \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Der Gradientenvektor stimmt. Nun setze für $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ ein und multipliziere die beiden Vektoren skalar ... mY+
20.05.2016, 08:36	s_punkt	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank! Aber eine Frage hab ich da noch, wo kommt $\begin{eqnarray} \vec{v} \end{eqnarray}$ her, sprich wie entsteht der in diesem Fall?
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20.05.2016, 08:42	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe deine Frage nicht. Du brauchst für die Richtungsableitung einen Einheitsvektor, der mit der x-Achse den Winkel pi/3 bildet. Und genau das ist der Vektor v.
20.05.2016, 10:34	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
oder anders formuliert: Da es vornehmlich um eine Richtung geht bietet sich doch an, den Richtungsvektor ( mit Betrag 1) in Polarkoordinaten auszudrücken: $\begin{eqnarray} \vec v = \binom {1}{\tfrac \pi 3} \end{eqnarray}$ Wie man Den kartesisch umwandelt hat ja Mythos schon gezeigt.
20.05.2016, 13:09	s_punkt	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt hab ich's. Aber dann mal eine andere Überlegung für die Richtungsableitung, man könnte dann doch folgendes machen: Ich bilde $\begin{eqnarray} x(t), y(t)\rightarrow f(x(t),y(t)) = g(t) \end{eqnarray}$ Nun leite ich das ganze ab und setze 0 ein: $\begin{eqnarray} \dot{g} \rightarrow \dot{g}(0) \end{eqnarray}$ Das würde doch dem gleichen Ergebnis entsprechen und bei meinem Beispiel wäre es dann: $\begin{eqnarray} x(t) = 1+t\cdot \mathrm{cos}\phi\\<br /> y(t) = -2+t\cdot\mathrm{sin}\\<br /> \rightarrow f(x(t),y(t)) = (1+\frac{t}{2})^2(-2-\frac{\sqrt{3}}{2}t)^3 \| \frac{d}{dt}\\<br /> \dot{g}(t) = 2(1+\frac{t}{2})\cdot\frac{1}{2}(-2-\frac{\sqrt{3}}{2}t)^3+(1+\frac{t}{2})^23\cdot(-2-\frac{\sqrt{3}}{2}t)^2(\frac{-\sqrt{3}}{2})\\<br /> \dot{g}(0) = -8-6\sqrt{3}<br /> \end{eqnarray}$ Und das Ergebnis würde ja mit dem der Richtungsableitung auf die andere Art übereinstimmen, oder hab ich jetzt einen Bock geschossen?
20.05.2016, 16:50	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Ergebnisse stimmt eben nicht ganz überein, bei 6 hast du einen Vorzeichenfehler. Ohne diesen stimmt das Resultat allerdings auch hier. Warum du allerdings diesen Umweg über die Parametrisierung $\begin{eqnarray} \vec p + t \cdot \vec v \end{eqnarray}$ machst, erschließt sich jetzt nicht, es wird eigentlich nur komplizierter. Zudem zeigt zwar $\begin{eqnarray} \vec p \end{eqnarray}$ zu dem Punkt auf der Kurve, nicht aber $\begin{eqnarray} \vec p + t \cdot \vec v \end{eqnarray}$ , das stimmt erst für t = 0. Dennoch setzt du diesen (verlängerten) Vektor in die Funktionsgleichung ein, leitest diesen nach dem Parameter $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ ab und behauptest dann, dass dies der Richtungsableitung entspricht. Das kann stimmen, es wäre auch interessant, aber wo ist der Beweis bzw. woher stammt diese Vorgehensweise? mY+
20.05.2016, 20:42	s_punkt	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Ergebnis stimmt, hätte ich nicht $\begin{eqnarray} -\frac{\pi}{3} \end{eqnarray}$ genommen, weil deswegen kommt ja das andere Vorzeichen beim Sinus. Ich Dulli. Die Idee dazu kam so: Ich hab eine Funktion und wenn ich auf die eine Art Ebene senkrecht setze und den Berührungspunkt ermittele, dann wäre dieser ja für den Berührungspunkt als Wert gleich dem den meine Funktion als Anstieg hat. Aber wie gesagt, ich war nur eine Überlegung.

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