Hauptachsentransformation: Korrektur

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Axiolo Auf diesen Beitrag antworten »
Hauptachsentransformation: Korrektur
Wink Ich bräuchte bitte eine Korrektur bzw. Hilfe zur folgenden Hauptachsentransformation, insbesondere, da mir manche Schritte nicht ganz klar sind:

Gegeben ist die Quadrik ..

1. Schritt: Ich schreibe die Quadrik in Matrizenschreibweise


. Das heißt in dem Beispiel:

sowie .

2. Schritt: Ich bestimmte die Eigenwerte und normierten Eigenvektoren der Matrix A

.
Damit ist .

Für die Eigenvektoren folgt: .
Sowie .

3. Schritt: Drehmatrix bestimmen (aus normierten EV)

Ich erhalte also , wobei ja . Aber ebenso ist auch , wobei auch hier die VZ so gewählt wurden, dass .

4. Schritt: Bestimmender Diagonalmatrix .

Es ist (also mit der 1. Drehmatrix) und damit .

5. Schritt??: Koordinatenwechsel?!

Ich führe die Quadrik über in eine neue Form mit den neuen Koordinaten:
. Das bedeutet:

(weil .

Und dann: .

6. Schritt: Quadratisch ergänzen .

Ich erhalte .

7. Schritt: Nochmaliger Koordinatenwechsel? :

Das ergibt . Oder: -> eine Parabel.

Stimmt das denn? Und: Die Diagonalmatrix D muss man doch nie extra noch ausrechnen, da sie immer die Eigenwerte in der Diagonalen besitzt?
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hauptachsentransformation: Korrektur
Bis Schritt 3 ist das in Ordnung. Ab Schritt 4 habe ich persönlich mir angewöhnt, die Diagonalmatrix so aufzustellen, dass die Reihenfolge der entsprechenden Eigenvektoren eine um einen positiven Winkel gedrehte Orthonormalbasis bildet (siehe Graphik).
Man kann sich dann danach die Figur besser bildlich vorstellen, weil die neue Gleichung quasi als Funktionsgleichung im gedrehten x'/y'-System interpretierbar ist.
Es bestätigt sich auch tatsächlich im Folgenden, dass die Wahl

mit dem Basiswechsel

günstiger ist.

Es ist mir nicht ganz klar, warum Du bei 5. zunächst

schreibst, aber dann mit x und y weiterrechnest.
Nach meiner Variante stünde da

was auf eine schöne Parabelgleichung der Form y'=f(x') bezüglich der gedrehten Basis führt.
 
 
Axiolo Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

auf deinem Weg komme ich zur Endlösung:

. (Ich habe nach der quadr. Ergänzung die Koordinaten nochmals umbenannt.

Stimmt das?

Oder muss ich hier nochmal einen Basiswechsel durchführen? (Ein Kollege kommt nämlich zur Lösung y=x^2).

Und wieso funktioniert das nicht so gut mit der Drehmatrix , sondern mit , d.h. mit dem von dir vorgeschlagenen Basiswechsel?

Wieso darf generell eigentlich im letzten Schritt die Gleichung nochmals durch Koordinatenwechsel übergeführt werden in , ohne, dass dies etwas am Kegelschnitt "ändert"?
klauss Auf diesen Beitrag antworten »

Am Anfang hast Du da ein Quadrat zuviel. Dürfte aber nur ein Schreibfehler sein.
ist genau das Resultat meiner Gleichung. Die läßt sich doch schön nach y' auflösen und liefert dann genau das Ergebnis, das aus dem Bild ersichtlich ist: Eine verschobene Normalparabel im neuen gestrichenen Koordinatensystem. Den letzten Koordinatenwechsel macht man bei den Quadriken gern pro forma, um eine tabellarisch gelistete Normalform zu erzeugen. Der ändert am Typ des Kegelschnitts nichts, da er nur eine Verschiebung bewirkt. Finde ich nicht unbedingt nötig.

Man hätte mit Deiner Matrix natürlich dasselbe Ergebnis bekommen, aber dann wäre die x'- und y'-Achse vertauscht gewesen (also gegenüber der Standardbasis nicht einfach nur gedreht) und man hätte zur graphischen Interpretation Zusatzüberlegungen benötigt.
Die Lage des Kegelschnitts kennt man ja grundsätzlich am Anfang nicht, daher ist ein gedrehtes Koordinatensystem mit gewohnter Orientierung immer hilfreich zur Vorstellung.
Ich gebe aber zu, dass das mein persönlicher bisher bewährter Geschmack ist und im Hochschulbereich eine trockenere Methode gelehrt wird.
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