Logistisches Wachstum, Ableitungen

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pedy Auf diesen Beitrag antworten »
Logistisches Wachstum, Ableitungen
Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich brauche eure Hilfe. Für meine Mathe-Präsentation im Abi brauche ich für eine Aufgabenstellung die 2te Ableitung von:
h(t)= a*G/(a+(G-a)*e°^(-G*k*t)

e= Eulersche zahl
a= 0.58 Meter (Anfangshöhe)
G= 30 Meter (Maximalhöhe nach 26 Jahren)
In der Aufgabenstellung steht das ich zum ermitteln von k die 2te Ableitung der Funktion brauche


Meine Ideen:
Ich habe in h(t) für t 26 eingesetzt und die Funktion gleich 30 Meter gesetzt und komme auf 0,1431. Das kann aber nicht stimmen und es ist nicht so gelöst wie es in der Aufgabenstellung gefordert ist...

Bin um jede Hilfe dankbar! smile
Stefan03 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

also wenn genau so in der Aufgabe steht, verstehe ich es nich.
Maximale Höhe deutet auf Maximum bzw. Hochpunkt hin und den bestimmt man anders...

Poste mal die genaue Aufgabenstellung.

Und warum setzt du die 26 in h(t) ein?!?
Was gibt h an?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Nur ein kleiner Hinweis, dann bin ich schon wieder weg...

Vielleicht hilft dieser Link:
https://de.wikipedia.org/wiki/Logistisch...des_Wendepunkts

Viele Grüße
Steffen
willyengland Auf diesen Beitrag antworten »

@Steffen:
Wie ihr sowas immer aus dem Hut zaubert ...
Toll!

Freude
pedy Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aufgabenstellung lautet:

Zu Beginn der Beobachtung war die Fichte 58cm hoch. Nach 26 Jahren ist die maximale Zuwachsrate erreicht. Fichten können bis zu 30 m hoch werden

Ermitteln Sie einen Funktionsterm h(t), der die Fichtenhöhe in Meter in Abhängigkeit von der Zeit t in Jahren angibt.

h(t)= a*g/a+(G-a)*e^(-G*k*t)

Für die Bestimmung des Parameters k benötigen Sie h``(t) und die Lösung einer nicht-algebraisch lösbaren Gleichung.

Hammer
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pedy
...
h(t)= a*g/a+(G-a)*e^(-G*k*t)
...

Das ist Unfug, bzw. ist die Gleichung falsch geschrieben!
Schreibe bitte entweder mit dem Formeleditor oder setze wenigstens entsprechende Klammern!
Ein zweiter Fehler ist, das G auch einmal klein geschrieben wurde, die beiden sind aber nicht verschieden.

Eine Wachstumsfunktion, die einen Wendepunkt besitzt, ist die logistische Wachstumsfunktion.
Dafür gibt es verschiedene Schreibweisen. Die von dir zitierte dürfte so lauten:



Davon kennen wir und , es fehlt also nur noch .
Zu dessen Berechnung dient die Tatsache, dass bei t = 26 ein Wendepunkt vorliegt.
Setze also die Konstanten ein und leite die Funktion zwei Mal ab und setze dann für gleich Null. Die Gleichung ist - im Gegensatz zum Aufgabentext - durch Logarithmieren einfach lösbar.
[k = rd. 0,005]

(*) Eine andere, die gängige einfachere Darstellung der Funktionsgleichung ergibt sich bei Kürzung des Bruches durch :

.



mY+
 
 
pedy Auf diesen Beitrag antworten »

Danke danke danke !!! smile smile
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

smile Hinweise:

- ist der Grenzwert (für ), hier also --> waagrechte Asymptote, der sich die Wachstumskurve nähert
- kann aus mittels berechnet werden
- Im Wendepunkt ist die Zuwachsrate maximal. Danach erfolgt der Zuwachs degressiv/fallend (vorher ist er progressiv/steigend)
- Im Wendepunkt ist die zweite Ableitung Null

mY+
pedy Auf diesen Beitrag antworten »




Eine Frage habe ich noch, stellt "(G-a)" den hemmenden Faktor bei dem log. Wachstum da ??

Edit (mY+): LaTeX berichtigt
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Dividiert (kürzt) man im vorhergehenden Bruch durch ,



so ist vor allem der Faktor dafür entscheidend.
Die Größe von beeinflusst wesentlich den Zeitpunkt, wann sich die Funktion der Grenze nähert und auch wann sich der Wendepunkt einstellt, aber NICHT die Änderungsgeschwindigkeit dort,
solange sich G nicht verändert. Das heisst, die Steigung der Wendetangente bleibt (bei konstantem G) konstant.
Verändert sich , hat dies weniger Einfluß auf selbst, als auf den Quotienten und die Steilheit der Kurve und damit die Änderungsgeschwindigkeit.

[attach]41756[/attach]

----------------

Die logistische Differentialgleichung, die 1838 der belgische Mathematiker Verhulst aufgestellt hat, beinhaltet die zwei Konstanten Geburtenrate und Todesrate.
Dort ist der hemmende Einfluss der Todesrate erkenntlich.
Erst nach Auflösung der Differentialgleichung und deren Umstellung kommt es dann zu der Grenzpopulation und dem sogenannten Sättigungsmanko(*) .
Mit fortschreitendem wird dieses immer kleiner.



mY+
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