Positive Definitheit hermitescher Form

20.05.2016, 12:33	F14	Auf diesen Beitrag antworten »
Positive Definitheit hermitescher Form Meine Frage: Hallo! Folgendes sollen wir zeigen: Eine hermitesche 2x2 - Matrix H ist genau dann postiv definit, wenn Spur(H) > 0 und det(H) > 0 ist. Meine Ideen: Das Hauptminorenkriterium haben wir nur für symmetrische Bilinearformen eingeführt (und ich wüsste jetzt nicht warum man es dann ohne Weiteres auch hier verwenden darf), und auch den Zusammenhang mit Eigenwerten, den ich hier gelsen habe, hatten wir (noch) überhaupt nicht. Also muss man wohl die Definition von postiv definit nachrechnen, also: $\begin{eqnarray} H = \begin{pmatrix} a & \vec{b} \\ b & c\end{pmatrix}, h(z,z) = z^{t} H \vec{z} > 0 \end{eqnarray}$ ansetzen (ich hab den Vektorpfeil für die komplexe Konjugation genommen), was bei mir für z = (x,y) mit x,y komplex zu der Ungleichung $\begin{eqnarray} ax\vec{x} + cy\vec{y} + b\vec{x} y + \vec{b}x\vec{y} > 0 \end{eqnarray}$ führt. Wie kann ich aber von hier auf det(H) > 0 schließen (u.u.) , also $\begin{eqnarray} ac - b\vec{b} > 0 \end{eqnarray}$ ?
21.05.2016, 12:26	F14	Auf diesen Beitrag antworten »
... Für die Nachwelt sei angemerkt Man muss einfach x und y in Real- und Imaginärteil zerlegen, und dann eine quadratische Ergänzung für die vier Variablen x1 x2 y1 y2 durchführen. Dann sieht man relativ schnell, dass dieser Term genau dann positiv ist, wenn $\begin{eqnarray} ac > \|b\|^{2} \end{eqnarray}$ , was ja äquivalent zur Aussage det (H) > 0 ist.

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