Normeigenschaften nachweisen

20.05.2016, 16:13	Laura2016	Auf diesen Beitrag antworten »
Normeigenschaften nachweisen Meine Frage: Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} \Omega \subset \mathbb{R}^k \end{eqnarray}$ ein Lipschitzgebiet und $\begin{eqnarray} \Gamma := \partial \Omega \end{eqnarray}$ . Für $\begin{eqnarray} u \in C^{\infty}(\Gamma) \end{eqnarray}$ sei $\begin{eqnarray} \\|u\\|_{H^{1/2}(\Gamma)} := inf_{v \in H^1(\Omega), v\restriction_{\Gamma} = u} \\|v\\|_{H^1(\Omega)} \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Hallo zusammen! Ich besuche momentan eine Numerik-Vorlesung zu partiellen Differentialgleichungen und da sollten wir als Hausaufgabe u.a. diese Aufgabe lösen, die ich einfach nicht hinbekomme. Es sind die Normeigenschaften nachzuprüfen, d.h. positive Definitheit, Homogenität und die Dreiecksungleichung. Die Positive Definitheit habe ich alleine geschafft (siehe unten), aber die beiden anderen Eigenschaften schaffe ich leider nicht alleine. (i) Positive Definitheit: Zzg.: $\begin{eqnarray} \\|u\\|_{H^{1/2}(\Gamma)} > 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \\|u\\|_{H^{1/2}(\Gamma)} = 0 \Rightarrow u \equiv 0 \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} u \in C^{\infty} \end{eqnarray}$ beliebig. Dann gilt $\begin{eqnarray} \\|u\\|_{H^{1/2}(\Gamma)} > 0 \end{eqnarray}$ , denn $\begin{eqnarray} \\|v\\|_{H^1(\Omega)} \end{eqnarray}$ ist eine Norm. Damit wissen wir auch, dass die rechte Seite genau dann $\begin{eqnarray} = 0 \end{eqnarray}$ ist, wenn $\begin{eqnarray} v \equiv 0 \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ ist. Insbesondere also auf $\begin{eqnarray} \Gamma \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} v \equiv 0 \end{eqnarray}$ . (ii) Homogenität: Seien $\begin{eqnarray} u \in C^{\infty}, \lambda \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ beliebig. Zu zeigen: $\begin{eqnarray} \\|\lambda u\\|_{H^{1/2}(\Gamma)} = \|\lambda\| \cdot \\|u\\|_{H^{1/2}(\Gamma)} \end{eqnarray}$ . Also: $\begin{eqnarray} \\|\lambda u\\|_{H^{1/2}(\Gamma)} = inf_{v \in H^1(\Omega), v\restriction_{\Gamma} = \lambda u} \\|v\\|_{H^1(\Omega)} \end{eqnarray}$ Jetzt hakt es bei mir gedanklich, denn ich habe ja nur eine Aussage über $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ auf dem Rand von $\begin{eqnarray} \Gamma \end{eqnarray}$ gegeben. Ich müsste irgendwie \lambda u sozusagen auf ganz $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ ausdehnen. Weiß jemand Rat? Ich bedanke mich schon mal recht herzlich!!! Viele Grüße, Laura

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