Fixpunkt instabil?, x^2+x

20.05.2016, 21:11

StrunzMagi

Fixpunkt instabil?, x^2+x

Hallo,
Sei $\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^2+x \end{eqnarray*}$ .
Meine Frage: Ist der Fixpunkt $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ stabil, anziehend?

Unsere Definition von Stabilität eines Fixpunktes:
Ein Fixpunkt $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist stabil wenn $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon>0 \exists \delta_{\epsilon}>0 \end{eqnarray*}$ so dass für alle $\begin{eqnarray*} y: |x-y|<\delta \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} |f^k (y)-x|<\epsilon \forall k \ge 0 \end{eqnarray*}$
Unsere Definition von anziehend:
Ein Fixunkt x ist anziehend wenn $\begin{eqnarray*} \exists \delta>0 \end{eqnarray*}$ sodass für alle $\begin{eqnarray*} y: |y-x|<\delta \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} \lim_{k\rightarrow \infty} f^{k} (y)= x \end{eqnarray*}$

Ich behaupte $\begin{eqnarray*} f^k (x) > x \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb{N}_{>0}, x>0 \end{eqnarray*}$
Induktionsanfang: $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2+x>x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\not=0 \end{eqnarray*}$
Induktionsschritt: $\begin{eqnarray*} f^{k+1}(x)=f(f^{k}(x))=(f^{k}(x))^2+f^k(x)>x^2+x>x \end{eqnarray*}$
Da $\begin{eqnarray*} f^{k}(x)>0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb{N}, x>0 \end{eqnarray*}$ ist die vorletze Ungleichung mit Induktionsvoraussetzung in ordnung.

So kann für $\begin{eqnarray*} x_0>0 \end{eqnarray*}$ nie die Folge $\begin{eqnarray*} f^j(x_0) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} j \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ gegen 0 konvergieren. Also nicht anziehend.

Die Instabilität kann ich nicht sauber argumentieren:
ZZ.: $\begin{eqnarray*} \exists \epsilon>0 \forall \delta>0 \end{eqnarray*}$ sodass für ein $\begin{eqnarray*} y: |y|<\delta \rightarrow |f^{k} (y)|>\epsilon \end{eqnarray*}$ for a $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon:=1 \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} \delta>1, y:=\frac{1}{\delta} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} |y|<\delta \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |f(y)|=|y^2+y|=|\frac{1}{\delta^2} + \frac{1}{\delta}| = |\frac{1+ \delta}{\delta^2}| > |1+\delta|>1= \epsilon \end{eqnarray*}$
Aber wie mache ich das für $\begin{eqnarray*} \delta<1 \end{eqnarray*}$ ?

Anderer Versuch:
Wäre $\begin{eqnarray*} 0< \lim_{j\rightarrow \infty} f^{j} (x)=s< \infty \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ so $\begin{eqnarray*} f(s)=f(lim_{j\rightarrow \infty} f^j(x))=\lim_{j\rightarrow \infty} f^{j+1} (x)=s \end{eqnarray*}$ Widerspruch)
Also $\begin{eqnarray*} \lim_{j \rightarrow \infty} f^{j} (x)= \infty \end{eqnarray*}$
Und somit nicht anziehend und instabil.

24.05.2016, 13:57

Schnappschildkröte

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Was ist denn jetzt genau deine Frage? Ich nehme an, dass das außer mir auch anderen noch nicht so klar ist. verwirrt

24.05.2016, 15:46

HAL 9000

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RE: Fixpunkt instabil?, x^2+x
Im Fall $\begin{align*} x_0>0 \end{align*}$ kann man leicht $\begin{align*} f^k(x_0) \geq x_0 + kx_0^2 \end{align*}$ für alle $\begin{align*} k\geq 1 \end{align*}$ durch vollständige Induktion nachweisen. Und daraus folgt locker $\begin{align*} \lim_{k\to\infty} f^k(x_0)=\infty \end{align*}$ .

Zitat:

Original von StrunzMagi
Wäre $\begin{eqnarray*} 0< \lim_{j\rightarrow \infty} f^{j} (x)=s< \infty \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ so $\begin{eqnarray*} f(s)=f(lim_{j\rightarrow \infty} f^j(x))=\lim_{j\rightarrow \infty} f^{j+1} (x)=s \end{eqnarray*}$ Widerspruch)

Diese Argumentation krankt daran, dass du mit dem Widerspruch nur widerlegt hast, dass $\begin{eqnarray*} f^{j} (x) \end{eqnarray*}$ einen endlichen Grenzwert hat für $\begin{eqnarray*} j\to\infty \end{eqnarray*}$ . Andere Verhaltensweisen, wie etwa beschränkt ohne Grenzwert (d.h. nicht monoton) werden dadurch nicht ausgeschlossen.

29.05.2016, 07:52

StrunzMagi

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Zitat:

Original von HAL 9000
Im Fall $\begin{align*} x_0>0 \end{align*}$ kann man leicht $\begin{align*} f^k(x_0) \geq x_0 + kx_0^2 \end{align*}$ für alle $\begin{align*} k\geq 1 \end{align*}$ durch vollständige Induktion nachweisen. Und daraus folgt locker $\begin{align*} \lim_{k\to\infty} f^k(x_0)=\infty \end{align*}$ .

Gute Idee,
I.Anfang $\begin{eqnarray*} f(x_0)=x_0^2+x_0 \ge x_0 + 1* x_0^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k \rightarrow k+1 \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} f^{k+1}(x_0)=[f^k{x_0}]^2 + f^k(x_0) \ge (x_0+k*x_0)^2 + x_0 + k x_0^2 = x_0^2 + 2*x_0^2 * k + k^2 * x_0^2 + x_0 + k*x_0^2 \ge x_0 + (k+1) x_0^2 \end{eqnarray*}$
Da $\begin{eqnarray*} f^{k} (x)>0 \forall k \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$

Aber es spricht nichts dagegen, dass "etwas komplizierter" aufzusplitten?:
Monotonie von f für Anfangswert $\begin{eqnarray*} x_0>0 \end{eqnarray*}$
Induktionsanfang: $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2+x > x=f^{0} (x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k \rightarrow k+1 \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} f^{k+1}(x)=f(f^{k}(x))=(f^{k}(x))^2+f^k(x)> [f^{k-1}(x)]^2 + f^{k-1} (x)= f(f^{k-1}(x))=f^{k}(x) \end{eqnarray*}$
Da $\begin{eqnarray*} f^{k} (x)>0 \forall k \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$

Und jetzt brauche ich

Zitat:

um daraus $\begin{align*} \lim_{k\to\infty} f^k(x_0)=\infty \end{align*}$ zu schließen.

Liebe Grüße,
MaGi

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