Real- und Imaginärteile einer Basis von C^n spannen R^n auf

21.05.2016, 01:25	bmwfahrer	Auf diesen Beitrag antworten »
Real- und Imaginärteile einer Basis von C^n spannen R^n auf Hallo, hier ist eine eigentlich einfache Frage, mit deren Beantwortung ich mich relativ schwer tue: Wenn $\begin{eqnarray} (z_1,\ldots,z_n) \end{eqnarray}$ eine Basis von $\begin{eqnarray} \mathbb C^n \end{eqnarray}$ ist, dann gilt $\begin{eqnarray} \mbox{span}(\Re(z_1),\ldots,\Re(z_n),\Im(z_1),\ldots,\Im(z_n)) = \mathbb R^n \end{eqnarray}$ . (Gemeint ist dabei $\begin{eqnarray} \mathbb C^n \end{eqnarray}$ als $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ -Vektorraum und $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ als $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ -VR. $\begin{eqnarray} \Re \end{eqnarray}$ steht für Real- und $\begin{eqnarray} \Im \end{eqnarray}$ für Imaginärteil). Das ist keine ÜA (wo man schon vorher weiß, dass die Beh richtig ist), sondern etwas, das ich mir selbst überlegt habe -- es kann also auch falsch sein. Auf den ersten Blick scheint die Aussage aber Sinn zu machen. Ich hatte mir überlegt, dass man es mit einem Widerspruchsbeweis zeigen könnte. Man nimmt also an, dass $\begin{eqnarray} \mbox{span}(\Re(z_1),\ldots,\Re(z_n),\Im(z_1),\ldots,\Im(z_n)) \neq \mathbb R^n \end{eqnarray}$ . Dann sind $\begin{eqnarray} \Re(z_1),\ldots,\Re(z_n) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \Im(z_1),\ldots,\Im(z_n) \end{eqnarray}$ linear abhängig, man kann also $\begin{eqnarray} \Re(z_1) \end{eqnarray}$ als LK von $\begin{eqnarray} \Re(z_2),\ldots,\Re(z_n) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \Im(z_1) \end{eqnarray}$ als LK von $\begin{eqnarray} \Im(z_2),\ldots,\Im(z_n) \end{eqnarray}$ schreiben. Die Idee war nun $\begin{eqnarray} z_1 = \Re(z_1) + i\Im(z_1) = \sum \mbox{LK von } \Re(z_1) + i\sum \mbox{LK von } \Im(z_1) = \sum\mbox {LK von } z_2,\ldots,z_n \end{eqnarray}$ zu schreiben (und dann wäre $\begin{eqnarray} (z_1,\ldots,z_n) \end{eqnarray}$ keine Basis mehr). Das letzte Gleihheitszeichen ist aber i.A. offensichtlich nicht richtig, d.h. ich habe nur eine LK von irgendwelchen Real- und Imaginärteilen und kann so natürlich nicht folgern, dass $\begin{eqnarray} (z_1,\ldots,z_n) \end{eqnarray}$ keine Basis ist. Leider sehe ich nicht, wie man diesen Ansatz retten kann ... Hat jemand von euch eine bessere Idee?
21.05.2016, 07:58	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Real- und Imaginärteile einer Basis von C^n spannen R^n auf Fasse ein $\begin{eqnarray} v \in \mathbb R^n \end{eqnarray}$ als Element in $\begin{eqnarray} \mathbb C^n \end{eqnarray}$ auf. Dort kannst du es mit der Basis ausdrücken und daraus eine Linearkombination der Real- und Imaginärteile gewinnen.
21.05.2016, 16:03	bmwfaher	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo IfindU, vielen Dank für den Hinweis. Hier noch meine Lsg: Es sei $\begin{eqnarray} v \in \mathbb R^n \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ liegt auch in $\begin{eqnarray} \mathbb C^n \end{eqnarray}$ und lässt sich als LK der gegebenen Basis darstellen: $\begin{eqnarray} v = \lambda_1 z_1 + \ldots +\lambda_n z_n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \lambda_1,\ldots,\lambda_n \in \mathbb C \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} v \in \mathbb R^n \end{eqnarray}$ , gilt $\begin{eqnarray} v = \Re(v) \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} v = \Re(\sum_k \lambda_k z_k) = \sum_k \Re(\lambda_k z_k) = \sum_k \Re(\lambda_k)\cdot\Re(z_k) - \Im(\lambda_k)\cdot\Im(z_k) \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ lässt sich LK von $\begin{eqnarray} \Re(z_1),\ldots,\Re(z_n),\Im(z_1),\ldots,\Im(z_n) \end{eqnarray}$ schreiben. Eigentlich gar nicht so kompliziert, war wohl gestern einfach zu müde ...
21.05.2016, 16:07	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehr schoen

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