An welchen Stellen ist eine Funktion differenzierbar?

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21.05.2016, 18:15	retzuna	Auf diesen Beitrag antworten »
An welchen Stellen ist eine Funktion differenzierbar? Meine Frage: Hallo, Ich habe allgemein gesagt eine Funktion, die für x>0 bestimmte Werte annimmt, sagen wir 2x^2 und für x<=0 den Wert 2 (ich möchte aber solche Aufgaben auf verschiedenen Beispielen anwenden können). Nun soll ich untersuchen, an welchen Stellen diese Funktion differenzierbar ist. Meine Ideen: Eine Funktion ist differenzierbar an der Stelle x0, wenn f'(x) an der Stelle x0 existiert. In einem solchen Beispiel wie oben könnte ich mir vorstellen, dass x=0 untersuchungswert wäre, da sich dort eine Sprungstelle befinden kann. Aber wie soll ich untersuchen, an welchen Stellen eine bestimmte Funktion sonst differenzierbar ist? Ich kann doch nicht für jedes x untersuchen. Gibt es einen bestimmten Weg um sowas zu berechnen?
21.05.2016, 18:29	005	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: An welchen Stellen ist eine Funktion differenzierbar? Differenzierbarkeit in einem Punkt $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ ist eine lokale Eigenschaft, man muss dazu nur die Funktionswerte in einer (beliebig kleinen) Umgebung von $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ kennen. In Deinem Beispiel gibt es zu jedem $\begin{eqnarray} x_0\ne0 \end{eqnarray}$ eine Umgebung $\begin{eqnarray} U=U(x_0) \end{eqnarray}$ mit entweder $\begin{eqnarray} f(x)=2 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} f(x)=2x^2 \end{eqnarray}$ fuer alle $\begin{eqnarray} x\in U \end{eqnarray}$ . Du kannst also fuer $\begin{eqnarray} x_0\ne0 \end{eqnarray}$ die Ableitung $\begin{eqnarray} f' \end{eqnarray}$ mit den bekannten Regeln direkt angeben.
21.05.2016, 18:33	retzuna	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, danke für Ihre Antwort. Heißt es also, wenn eine Ableitung existiert, so ist eine Funktion differenzierbar in Ihrem ganzen Definitionsbereich?
21.05.2016, 18:51	005	Auf diesen Beitrag antworten »
Verstehe die Frage nicht recht. "Differenzierbar" ist doch nur ein anderes Wort fuer "Ableitung existiert." Wenn die Ableitung in jedem Punkt des Definitionsbereichs existiert, dann ist die Funktion auch auf ihrem ganzen Definitionsbereich differenzierbar (und umgekehrt).
21.05.2016, 19:28	ratzuna	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke noch mal. Also reicht das, wenn ich die Ableitungen bilde und untersuche, ob es für jeden x aus dem Definitionsbereich anwendbar ist? Verstehe ich es richtig, dass die Ableitung dann an einer Stelle nicht existiert, wenn man z.B. durch 0 teilen müsste?
21.05.2016, 19:51	005	Auf diesen Beitrag antworten »
Werden wir doch mal konkret. Wie lautet $\begin{eqnarray} f'(x_0) \end{eqnarray}$ im Beispiel fuer $\begin{eqnarray} x_0\ne0 \end{eqnarray}$ ?
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21.05.2016, 20:10	retzuna	Auf diesen Beitrag antworten »
Für x>0 ist die Ableitung 4x, für x<0 ist die Ableitung 0. Also wenn ich richtig verstehe ist diese Funktion differenzierbar auf dem ganzen Definitionsbereich außer 0, weil auf 0 der 'linke' und 'rechte' Grenzwert nicht übereinstimmen (jeweils 2 und 0), wir also eine 'Sprungstelle' haben. Ist das richtig? Es tut mir Leid wenn ich Ausdrücke bilde die wehtun wenn man sich sie anguckt, ich gebe zu dass mir Analysis wirklich schwer fällt und die Aufgabe, die wir hier betrachten, empfinde ich als eine 'typische' Aufgabe, kann aber trotzdem kein Beispiel dafür finden... Die Beispiele, die ich zu erarbeiten habe, sind natürlich viel schwieriger, mir ging es in erster Linie nur darum, es zu verstehen. Vielen Dank nochmal für alle Antworten.
21.05.2016, 20:15	retzuna	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke ich habe das im ersten Post bisschen unübersichtlich geschrieben: f(x) = 2x^2 falls x>0 f(x) = 2 falls x< oder gleich 0 ist
21.05.2016, 22:06	005	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Schema bei diesen zusammengesetzten Funktionen ist immer das gleiche: Bei Punkten, die inklusive Umgebung in einem Zweig liegen, entscheidet dieser Zweig alleine. Auf differenzierbar kann man meistens dadurch schliessen, dass man die Ableitung explizit angeben kann. Bleiben noch die Punkte, an denen es von einem Zweig in den naechsten geht. Da jeder solche Punkt nur Umhebungen hat, die in beiden Zweigen liegen, kann man keine Ableitungsregeln mehr benutzen. Man muss dann den Differenzenquotienten direkt untersuchen. Oder man sieht wie im Beispiel, dass die Funktion nicht mal stetig und also auch nicht diff'bar ist.
22.05.2016, 00:24	retzuna	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen herzlichen Dank, Ihre Antworten haben mir wirklich sehr geholfen.
22.05.2016, 12:37	ratzuna	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch eine Frage, ich habe nämlich ein Video gefunden. Hier wird ja erklärt, dass bei 2 zusammengesetzten Funktionen man an den Übergangsstellen die Stetigkeit prüfen kann, indem man f1(x0)=f2(x0) setzt. Sobald es erfüllt ist, kann man dann die Differenzierbarkeit überprüfen, indem man f1 ' (x) = f2 ' (x) setzt. Stimmt das? Kann man es also ohne den Grenzwert des Differenzenquotienten berechnen? Wie macht man das mithilfe von Differenzenquotienten?

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