Orthogonalbasis bzgl quadratischer Form

21.05.2016, 21:00	pete121	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthogonalbasis bzgl quadratischer Form Meine Frage: Sei q durch $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 & a_4 \\ b_1 & b_2 & b_3 & b_4 \\ c_1 & c_2 & c_3 & c_4 \\ d_1 & d_2 & d_3 & d_4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ gegebene quadratische Form auf $\begin{eqnarray} \mathbb R^4 \end{eqnarray}$ . Bestimmen Sie eine Orthogonalbasis bzgl. q. Welche Signatur hat q? Die Orthogonalbasis ist definiert durch: $\begin{eqnarray} \mathbb B=(v_1,...,v_n) \end{eqnarray}$ von V heißt Orthonormalbasis, wenn $\begin{eqnarray} q(v_i,v_j)=0 \forall i\neq j \end{eqnarray}$ Die Matrix ist übrigens symmetrisch! Die Bilineareform von q ist definiert durch: $\begin{eqnarray} \beta(x,y) = \frac{1}{2} (q(x+y)-q(x)-q(y)) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Die Signatur habe ich durch Umformung von Spalten und Zeilenoperationen raus bekommen, indem ich die Matrix auf eine Diagonalmatrix gebracht habe: (2,2). Das sollte soweit auch stimmen. Die Frage ist wie ich die Orthonormalbasis heraus bekomme... Die Standardvektoren von $\begin{eqnarray} \mathbb R^4 \end{eqnarray}$ wären ja zu simple. (Genaue Werte habe ich erstmal nicht eingefügt...) Dankeschön!

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