Steilster Abstieg, Funktion |
| 22.05.2016, 17:24 | halil1992 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Steilster Abstieg, Funktion guten abend ;D ich hätte eine frage zu der aufgabe b) im anhang. also zu der a) hab ich die tangential ebene im punkt (1,1,4) berechnet und die sollte so lauten: z-8y+8x=4 jetzt zu der der b) wo man den steilsten abstieg bestimmt beziehungs weise die richtung dessen Meine Ideen: also ich bin mir nicht sicher, ob man das so macht. ich habe jetzt einfach den gradienten berechnet und (1,1) jeweils eingesetzt! am ende noch den gradienten mit -1 multipliziert weil es ein abstieg ist (stimmt das? bin mir unsicher) meine fragen dazu jetzt: 1) es kommt dann (-8,-8) raus, soll man das ergebnis jetzt noch normieren? 2)stimmt die multiplikation mit -1 mit dem gradienten (bzw stimmt das vorgehen)? 3) welcher zusammenhang besteht jetzt zwischen der tangential eben im punkt (1,1,4) aus a) und den steilsten abstieg im selben punkt? ich bin für jede hilfe dankbar! |
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| 22.05.2016, 22:06 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es fragt sich zunächst, wie du die Tangentialebene bestimmt hast, sie stimmt allerdings. Der Normalvektor der Tangentialebene ist identisch mit dem Gradienten und dieser ist auch die Richtung des "steilsten Abstiegs (oder Anstiegs)" Da die Funktion dreidimensional ist, muss der Gradientenvektor drei Komponenten haben (bei dir hat der nur zwei - und sind auch nicht richtig). In der Gleichung deiner Tangentialebene erscheint er allerdings als (8; -8; 1). Dessen Orientierung sollte man nicht umkehren (im Gegensatz zu jenem bei der Tangentialebene), weil derart das Steigungsverhalten abgelesen werden kann. Den Gradienten erhalten wir durch die partiellen Ableitungen nach allen drei Variablen, also auch der nach , diese ist -1. Somit wird der Gradientenvektor zu (-8; 8; -1)T und darin kannst du eben die beiden 8 nicht abkürzen. Und ob es ein ANstieg oder ABstieg (von der x-y - Ebene aus gesehen) ist, sieht man jetzt an den Koordinaten. mY+ |
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| 22.05.2016, 22:37 | halil1992 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Steilster Abstieg, Funktion hey mYthos, danke für deinen ausührlichen beitrag!! mir ist jetzt sehr viel klar geworden! die tangentialebene hab ich durch die ableitung f_x und f_y bekommen wo ich jeweils den vorgegebenen x=1 und y=1 wert eingesetzt habe. danach stupide alle werte in die definition der tangentialebene eingesetzt und aufgelöst. eine einzige sache ist mir noch nicht ganz glas klar, und zwar: ich hab es so verstanden dass mein gradientenvektor der aus meiner tangentialebene resultierte: (8; -8; 1) richtig war nun sollte man noch diese z-8y+8x=4 ableiten nach allen variabeln und du hast dann als lösung (-8; 8; -1)T geschrieben. heisst das, dass die gleichung auf die form 0=-8x+8y-z+4 gebracht werden muss? ansonsten vielen dank, mir ist einiges klarer! |
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| 22.05.2016, 23:08 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
man muss die Tangentialebene nicht unbedingt als Gleichung schreiben, eine lineare Funktion als Taylorpolynom 1. Grades tut es auch. Der Gradientenvektor von liegt in der x-y Ebene. Es steht einem frei, mittes das in die übliche implizite Gleichungsform umzuschreiben. |
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| 22.05.2016, 23:13 | halil1992- | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aber dann wäre doch wenn man z partiell ableitet nicht -1? Oder wo ist mein denkfehler :s |
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| 22.05.2016, 23:23 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja und nein! bei schon. 
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| 22.05.2016, 23:27 | halil1992- | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
oh mann :s also ist der z-wert egal weil sowieso nur die x,y werte ausschlaggebend sind? Bzw forme ich meine gleichung z-8y+8x=4 so um, dass ein abstieg entlang x-y dargestellt wird? Vllt ist es einfach zu spät heute haha. Danke dir! |
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| 22.05.2016, 23:56 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Diese Ebengleichung hat so erst mal gar nichts mit Abstieg/Anstieg zu tun. Man kann aber den Normalenvektor der Ebene ablesen. Dieser hat aber nix mit Gradient zu tun. Das ganze wird erst wirklich interessant, wenn die Funktion implizit definiert ist. Also ------------------------------------------------------------------------------------------------------- edit : sorry, wollte mich eigentlich nicht so heftig einmischen , aber jetzt ist es schon zu spät ... |
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| 23.05.2016, 00:34 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Doch, wenn auch im etwas weiteren Zusammenhang! Denn der Gradientenvektor ist jedenfalls ein Normalvektor der Tangentialebene. Zum Unterschied in der Gleichung der Tangentialebene, wo deren Normalvektor beidseitig orientiert sein kann, ist der Gradient (berechnet aus den partiellen Ableitungen) eindeutig und zeigt entweder ein Gefälle oder einen Höhengewinn an. mY+ |
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| 23.05.2016, 00:56 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
einer der Normalenvektoren der Tangentialebene ist nur dann ein Gradient, wenn man implizite Funktion verwendet, im Vorigen genannt. Aber das tut sich nicht viel. |
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| 23.05.2016, 08:57 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist schon klar. Der Normalvektor der Tangentialebene ist dreidimensonal und daher sinnvoll nur aus zu ermitteln. |
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