Verteilungsfunktion

23.05.2016, 14:26

Schweppes

Verteilungsfunktion

Zeigen Sie, dass es sich bei

$\begin{eqnarray*} F_{X}(u) \begin{cases} 0 &\mbox{für } u<1 \\ \frac{2^k-1}{2^k} &\mbox{für } k\leq u\geq k+1 \text{ für } k\in\mathbb{N} \end{cases} \end{eqnarray*}$

um eine Verteilugnsfunktion handelt.

Für eine Verteilungsfunktion muss gelten

(1) $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} F_{X}(u)=1 \end{eqnarray*}$

(2) $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty} F_{X}(u)=0 \end{eqnarray*}$

(3) $\begin{eqnarray*} F_{X} \end{eqnarray*}$ ist monoton wachsend

(4) $\begin{eqnarray*} F_{X} \end{eqnarray*}$ ist rechtseitig stetig.

Lösung:

(1) und (2) sind trivial.

(3) habe ich bereits gezeigt.

Hilfe benötige ich nur bei (4):

Es reicht hier ja die Sprungstelle, also $\begin{eqnarray*} u=1 \end{eqnarray*}$ zu untersuchen.

Sei $\begin{eqnarray*} \left(x_n\right)_{n\in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ eine Folge mit $\begin{eqnarray*} x_n\to 1 \end{eqnarray*}$ .

Dann gilt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{u \to 1+} F_{X}(u) = \lim_{u \to 1+} \frac{2^u-1}{2^u} = \lim_{u \to 1+} \left( 1-\frac{1}{2^u} \right) = \lim_{u \to 1+} 1 - \lim_{u \to 1+} \frac{1}{2^u} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} = F_{X}(1) \end{eqnarray*}$ .

Also ist die Funktion rechtsseitig stetig.

Für mich sieht das stimmung aus, aber ich hätte gerne nochmal bestätigung. Stetigkeit via Folgen war nämlich noch nie ganz so meins.

Mfg. Schweppes Wink

23.05.2016, 16:10

HAL 9000

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RE: Verteilungsfunktion

Zitat:

Original von Schweppes
$\begin{eqnarray*} F_{X}(u) \begin{cases} 0 &\mbox{für } u<1 \\ \frac{2^k-1}{2^k} &\mbox{für } k\leq u~{\color{red}\geq}~ k+1 \text{ für } k\in\mathbb{N} \end{cases} \end{eqnarray*}$

Macht keinen Sinn. Womöglich meinst du

$\begin{eqnarray*} F_{X}(u) = \begin{cases} 0 &\mbox{für } u<1 \\ \frac{2^k-1}{2^k} &\mbox{für } k\leq u~{\color{red}<}~ k+1 \text{ und } k\in\mathbb{N} \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

23.05.2016, 17:24

Schweppes

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Das ist korrekt ja, da hab ich mich wohl vertippt Forum Kloppe

Tschuldigung

23.05.2016, 17:28

Schweppes

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Oben sollte auch immer die Folge, statt $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ stehen.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x_n \to 1+} F_{X}(x_n) = \lim_{x_n \to 1+} \frac{2^{x_n}-1}{2^{x_n}} = \lim_{{x_n} \to 1+} \left( 1-\frac{1}{2^{x_n}} \right) = \lim_{x_n \to 1+} 1 - \lim_{x_n \to 1+} \frac{1}{2^{x_n}} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} = F_{X}(1) \end{eqnarray*}$ .

24.05.2016, 07:35

HAL 9000

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Ja, stimmt. Entscheidend für die Rechtsstetigkeit ist die Intervallform $\begin{align*} k\leq z<k+1 \end{align*}$ in der obigen abschnittsweisen Festlegung der Funktion. Stände dort abweichend davon $\begin{align*} k<u\leq k+1 \end{align*}$ , so würde stattdessen Linksstetigkeit vorliegen.

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