Eine Aufgabe zu zahlentheoretischen Funktionen

23.05.2016, 18:03

matheboy94

Eine Aufgabe zu zahlentheoretischen Funktionen

Meine Frage:
Es soll gezeigt werden, dass Phi = µ * idN

Phi: N->N
Phi(n):= #{k,1<=k<=n:ggT(k,n)=1}

µ(n):= $\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{pmatrix} 1 wenn n=1 \\ (-1)^{r} wenn \alpha _{1} =\alpha _{2} =...=1 \\ 0 sonst (d.h. mindestens ein \alpha _{i} \geq 2 \end{pmatrix}\right\} \end{eqnarray*}$
r ist die Anzahl der verschiedenen Primzahlen in der Primfaktorterlegung.
$\begin{eqnarray*} \alpha_{i} \end{eqnarray*}$ ist der Exponent in der Primfaktorzerlegung.

idN bezeichnet die Identität auf N, idN(n)=n, n?natürliche Zahlen

Meine Ideen:
Ich habe versucht es mit vollständiger Induktion zu beweisen.
Induktionsanfang: Phi(1)=µ(1)*idN(1) stimmt
Induktionsvoraussetzung: Phi(n)=µ(n)*idN(n)
Induktionshypothese: Phi(n+1)=µ(n+1)*idN(n+1)

Beim Induktionsschritt komme ich nicht weiter. Bitte um Hilfe bei diesem Schritt.
Oder hat jemand einen anderen Lösungsvorschlag?

23.05.2016, 18:37

tatmas

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Hallo,

eine klassische Induktion ist hier auch völlig fehl am Platz.
Wie soll die funktionieren, die eulersche phi-Funktion und die Möbius-Funktion haben keine allgemeinen Eigenschaften bzgl. Addition.

Beides sind multiplikative Funktionen, nutze das aus.
M.a.W. mach eine strukturelle Induktion bzgl. der Primfaktorzerlegung.

23.05.2016, 18:42

Elvis

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$\begin{eqnarray*} \varphi(3)=2 \end{eqnarray*}$ aber $\begin{eqnarray*} \mu(3)\cdot 3=-3 \end{eqnarray*}$

23.05.2016, 18:49

tatmas

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Elvis was willst du uns damit

Zitat:

Original von Elvis
$\begin{eqnarray*} \varphi(3)=2 \end{eqnarray*}$ aber $\begin{eqnarray*} \mu(3)\cdot 3=-3 \end{eqnarray*}$

sagen?
$\begin{eqnarray*} (\mu * id ) (3)= \sum_{d |3} \mu (n/d) id(d)= \mu (1)\cdot 3 + \mu (3) \cdot 1 =3 -1 =2 = \varphi (3) \end{eqnarray*}$

23.05.2016, 18:58

Elvis

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Danke, damit ist mir auch klar, was mit * gemeint war. Ich habe keine weiteren Fragen

23.05.2016, 21:51

HAL 9000

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Da die hier im Board nun auch nicht tagtäglich aufschlägt, vermutlich nicht mal monatlich, sollte man kurz für alle klarstellen, dass mit * hier die Dirichlet-Faltung (die Formeln dazu hat tatmas ja schon genannt) gemeint ist. Augenzwinkern

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