punktweise und gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen

23.05.2016, 19:20	PatPat	Auf diesen Beitrag antworten »
punktweise und gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen Meine Frage: Moin an alle die mir vielleicht hier weiterhelfen können. Ich hänge an dieser Aufgabe, bei der ich nicht so recht auf eine zufriedenstellende Lösung komme. Entscheiden Sie für die Folge $\begin{eqnarray} (s_{n})_{n\in{\mathbb N}_0} \end{eqnarray}$ von Funktionen $\begin{eqnarray} s_{n}:I->\mathbb R, n\in {\mathbb N}_{0} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} s_{n}(x)=x^{n}, x\in I=[-1,0] \end{eqnarray}$ , jeweils ob diese i) punkteise konvergiert, und wenn ja gegen welche Funktion $\begin{eqnarray} s:I->\mathbb R \end{eqnarray}$ , ii) gleichmäßig konvergiert, und wenn ja gegen welche Funktion $\begin{eqnarray} s:I->\mathbb R \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: $\begin{eqnarray} x=-1 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} s_{n}(-1)=\lim_{n \to \infty} -1^{n}\Rightarrow s_{n}(-1) \end{eqnarray}$ ist divergent. $\begin{eqnarray} x\in (-1,0): \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} s_{n}(x)=\lim_{n \to \infty}x^{n}=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ konvergiert punktweise gegen $\begin{eqnarray} s_{n}(x)=0 \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} x=0: \end{eqnarray}$ Hier beginnt meine eigentliche Frage. $\begin{eqnarray} s_{n}(0)=0^{n} \end{eqnarray}$ würde für das erste Folgenglied $\begin{eqnarray} n \in {\mathbb N}_0 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} s_{0}(0)=0^{0} \end{eqnarray}$ ergeben, also einen undefinierten Wert annehmen. Ist hier das Ergebnis dann undefiniert, divergent, oder konvergent, da die nachfolgenden Folgenglieder gegen 0 konvergieren? Vielen Dank für alle Ratschläge schon mal im Vorraus.
23.05.2016, 20:26	005	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: punktweise und gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen Ob $\begin{eqnarray} 0^0 \end{eqnarray}$ definiert ist oder nicht, ist Definitionssache. Es kann Dir aber egal sein. Anfangsglieder sind fuer Konvergenzfragen nicht relevant. Es reicht, wenn fuer alle grossen $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ alles klar ist.
23.05.2016, 20:57	PatPat	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn das so ist dann würde für die Punktweise konvergenz ja gelten $\begin{eqnarray} s_{n}(x)= \end{eqnarray}$ {divergent für x=-1, {0 für $\begin{eqnarray} x\in (-1,0] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ keine gleichmäßige konvergenz aufgrund der Unstetigkeit in x=-1
23.05.2016, 21:16	005	Auf diesen Beitrag antworten »
Bis jetzt hast Du festgestellt, dass $\begin{eqnarray} s_n(x) \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} (-1,0] \end{eqnarray}$ punktweise gegen die Nullfunktion konvergiert. Dein Argument zur gleichmaessigen Konvergenz zieht ueberhaupt nicht. Erstens divergiert ja $\begin{eqnarray} s_n(-1) \end{eqnarray}$ , da kann man kaum von einer Unstetigkeit der Grenzfunktion(?) reden. Die ist da gar nicht definiert. Zweitens waere die Konvergenz auch dann nicht gleichmaessig, wenn man in der Aufgabe $\begin{eqnarray} s_n(-1):=0 \end{eqnarray}$ fuer alle $\begin{eqnarray} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$ vorgeben wuerde.
23.05.2016, 21:44	PatPat	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, aber die gleichmäßige Konvergenz kann man doch schon wegen der punktweisen divergenz in x=-1 ausschließen.
23.05.2016, 23:11	005	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Antwort ist also: (i) Keine punktweise Konvergenz in [-1, 0], und also (ii) natuerlich auch keine gleichmaessige in [-1, 0]? Kann man drueber reden. Die Frage ist so reichlich daemlich formuliert. (Falls Du sie wirklich so bekommen hast, wie hier reproduziert.) Sinvoll waere die Erkenntnis, dass in (-1, 0] punktweise Konvergenz vorliegt, und daran anschliessend die Frage, ob die Konvergenz in (-1, 0] denn auch gleichmaessig ist.
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